Riemann yüzeyi

F (z) = √z fonksiyonu için Riemann yüzeyi. Dikey eksen √z'nin reel kısmını temsil ederken, iki yatay eksen z'nin reel ve sanal kısımlarını temsil eder. √z'nin sanal kısmı, noktaların renklendirilmesiyle temsil edilir. Bu işlev için, aynı zamanda grafiği dikey eksen etrafında 180° döndürdükten sonraki yüksekliktir.

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Riemann yüzeylerindeki ana ilgi, holomorf fonksiyonların aralarında tanımlanabilmesidir. Riemann yüzeyleri günümüzde bu fonksiyonların global davranışı, özellikle de karekök ve diğer cebirsel fonksiyonlar veya logaritma gibi çok değerli fonksiyonların incelenmesi için doğal ortam olarak kabul edilmektedir. Her Riemann yüzeyi iki boyutlu gerçek bir analitik manifolddur (yani bir yüzey), ama holomorf fonksiyonların kesin tanımı için gerekli olan bir alt yapı (karmaşık bir yapı) içerir. İki boyutlu bir gerçek manifold, yönlendirilebilir ve ölçülebilir ise bir Riemann yüzeyine dönüştürülebilir. Dolayısıyla küre ve simit formunda karmaşık yapıları kabul eder, fakat Möbius şeridi, Klein şişesi ve gerçek yansıtmalı düzlem bunu yapmaz.

Tanımlar

Riemann yüzeyinin birkaç eşdeğer tanımı vardır:

1. Bir x Riemann yüzeyi, karmaşık bir boyuta ve bağlantıya sahip bir manifolddur. Bu, x'in karmaşık düzlemin açık birim diskine bir çizelge atlası ile donatılmış bağlı bir Hausdorff alanı olduğu anlamına gelir: her x ∈ X noktası için, kompleksin açık birim diskine homeomorfik olan bir x komşuluğu vardır. Düzlem ve örtüşen iki harita arasındaki geçiş haritalarının holomorf olması gerekir.

1. Riemann yüzeyi, iki boyutlu yönlendirilmiş bir manifolddur. Yine, manifold, x'in herhangi bir x noktasında, uzayın gerçek düzlemin bir alt kümesine homeomorfik olduğu anlamına gelir. "Riemann" eki, x'in manifold üzerinde açı ölçümüne izin veren ek bir yapıya, yani Riemann metriklerinin bir eşdeğerlik sınıfına sahip olduğunu belirtir. Ölçtükleri açılar aynıysa, bu tür iki metrik eşdeğer kabul edilir. x üzerinde bir eşdeğerlik metrik sınıfı seçmek, uyumlu yapının ek verisidir.

Örnekler

Riemann küresi

Bir simit

• Karmaşık düzlem olan C, en temel Riemann yüzeyidir. f(z) = z haritası (kimlik haritası) C için bir grafik tanımlar ve {f} C için bir nevi bir atlastır. g(z) = z* haritası (eşlenik harita) aynı zamanda C üzerinde bir grafik tanımlar ve {g} C için bir nevi bir atlastır. f ve g çizelgeleri uyumlu değildir, bu nedenle bu C'ye iki farklı Riemann yüzey yapısı bahşeder. Aslında, bir Riemann yüzeyi X ve atlası A verildiğinde, eşlenik atlası B = {f*: f ∈ A} hiçbir zaman A ile uyumlu değildir ve X'e farklı, uyumsuz bir Riemann yapısı bahşeder.
• Benzer bir şekilde, karmaşık düzlemin her boş olmayan açık alt kümesi, doğal bir şekilde bir Riemann yüzeyi olarak görülebilir. Daha genel olarak, bir Riemann yüzeyinin her boş olmayan açık alt kümesi bir Riemann yüzeyidir.
• S = C ∪ {∞} ve f(z) = z olsun; burada z, S \ {∞}, g(z) = 1 / z ve S \ {0} içinde, 1 / ∞, 0 olsun. O zaman f ve g çizelgeleri, uyumludurlar ve {f, g} S'yi bir Riemann yüzeyine dönüştüren atlastır.

• 
  f(z) = arcsin z
• 
  f(z) = log z
• 
  f(z) = z^1/2
• 
  f(z) = z^1/3
• 
  f(z) = z^1/4

Diğer tanımlar ve özellikler

Karmaşık manifoldlar arasında bulunan herhangi bir haritada olduğu gibi iki Riemann yüzeyi, M ve N arasındaki bir f: M → N fonksiyonuna holomorftur, eğer M atlasındaki her g tablosu ve N atlasındaki her h grafiği için h ∘ f ∘ g⁻¹ haritası, tanımlandığı her yerde holomorftur (C'den C'ye giden bir fonksiyon olarak). İki holomorf haritanın bileşimi holomorftur. M'den N'ye giden fonksiyonun tersi de holomorf olan bijektif bir holomorf fonksiyondur. Varsa iki Riemann yüzeyi M ve N, biholomorf olarak isimlendirilir (ikinci koşulun otomatik olduğu ve bu nedenle ihmal edilebilir). Uyumlu olarak birbirine eşdeğer iki Riemann yüzeyi, tüm pratik amaçlar için aynıdır.

Yönlenebilirlik

Karmaşık bir manifold olan her Riemann yüzeyi, gerçek bir manifold olarak yönlendirilebilir. h = f(g⁻¹ (z)) geçiş fonksiyonuna sahip karmaşık grafikler f ve g için h, z noktasındaki Jacobi'nin sadece gerçek doğrusal harita olduğu R²den R²ye uzanan bir harita olarak düşünülebilir. h'(z) karmaşık sayısıyla çarpma. Bununla birlikte, karmaşık bir α sayısı ile çarpmanın gerçek determinantı |α|²ye eşittir. Bu nedenle, Jakobiyen h'nin pozitif determinantı vardır. Sonuç olarak, karmaşık atlas yönlendirilmiş bir atlastır.

Fonksiyonlar

Kompakt olmayan her Riemann yüzeyi, sabit olmayan holomorf fonksiyonları kabul eder (C'deki değerlerle). Aslında, kompakt olmayan her Riemann yüzeyi bir Stein manifoldudur.

Buna karşılık, kompakt bir Riemann yüzeyinde X, C değerlerine sahip her holomorf fonksiyon maksimum prensibi nedeniyle sabittir. Bununla birlikte, her zaman sabit olmayan meromorfik fonksiyonlar vardır (Riemann küresi C ∪ {∞} değerlerine sahip holomorf fonksiyonlar). Daha kesin olarak, X'in fonksiyon alanı, C(t)nin sonlu bir uzantısıdır, bir değişkendeki fonksiyon alanı, yani herhangi iki meromorfik fonksiyon cebirsel olarak bağımlıdır. Bu ifade daha yüksek boyutlara genelleme yapar. Meromorfik fonksiyonlar, Riemann teta fonksiyonları ve yüzeyin Abel-Jacobi haritası açısından oldukça açık bir şekilde verilebilir.

Dış bağlantılar

• "Riemann surface" 23 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce), Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Riemann Surface" 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce). PlanetMath.