Poligon

Ang iba't ibang uri ng poligon: (1) bukas (walang hangganan), (2) lamang isang hangganan (walang loob), (3) sarado (na may hangganan at loob), at (4) isang poligon na tumatawid ng sarili nito.

Heometriya
Pagproyekt ng isang espera sa isang plano
Mga sanay Euclidean Non-Euclidean Elliptic Spherical Hyperbolic Non-Archimedean geometry Projective Affine Synthetic Analitiko Alhebraiko Arithmetic Diophantine Deribatibo Riemanniano Symplectic Discrete differential Complex Finite Natatangi Digital Convex Computational Fractal Incidence Noncommutative geometry Noncommutative algebraic geometry
Mga konsepto Mga katangian Dimensiyon Straightedge and compass constructions Anggulo Kurba Diagonal Ortogonalidad (Perpendikular) Paralelo Vertex Congruence Similarity Symmetry
Serong dimensiyonal Punto
Isang dimensiyonal Guhit Segmento Rayos Haba
Dalawang dimensiyonal Plano Sukat Poligon Tatsulok Altitude Gilis Teorema ni Pitagoras Paralelogram Parisukat Parihaba Rombus Romboide Kuwadrilateral Trapesoid Kite Bilog Diyametro Sirkumperensiya Area
Tatlong dimensiyonal Volyum Kubo Kuboide Silindro Dodecahedron Icosahedron Octahedron Piramide Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Apat- / ibang-dimensiyonal Tesseract Hypersphere
Mga heometra
ayon sa pangalan Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Arkimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang
ayon sa panahon BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Present day Atiyah Gromov

Sa heometriya, ang poligon (Ingles: polygon) o poligono (Kastila: polígono; mula sa Sinaunang Griyego: πολύγωνον polúgōnon, πολύς polús "marami" + γωνία gōnía "anggulo") ay isang plano o plane na tinatakdaan ng mga saradong landas o sirkito na binubuo ng mga may hangganang sekwensiya (sunod-sunod) ng mga tuwid na linyang segmento (o ng saradong poligonal na kadena). Ang rehiyong plano, ang hangganan, o kapuwa, maaari itong tawaging isang poligon.

Ang mga segmentong ng poligonal na sirkito ay tinatawag na mga gilid (edge o side) at ang mga punto na nagsasalubong ay tinatawag na mga berteks (vertex o corner). Ang interiyor (loob) ay minsang tinatawag na katawan. Ang n-gon ay isang poligon na may n na gilid. Halimbawa, isang tatsulok ay isang 3-gon.

Ang simpleng poligon ay isa kung saan ang mga gilid ay hindi tumatawid. Madalas, nagtatrabaho ang mga matematiko lang sa simpleng poligon, at tinutukuyin nila ang mga poligon kaya. Maaaring tumatawid ang hangganang poligon ng sarili nito, alin gumagawa ng mga poligong bituin at ng ibang ganyang poligon.

Ang poligon ay dalawang-dimensiyonal na halimbawa ng mas heneral na politop (polytope) sa anumang bilang ng mga dimensiyon. May maraming uri ng mga poligon sa iba't ibang mga layunin.

Etimolohiya

Ang salitang "poligon" ay nagmula sa salitang pang-uri sa Griyego na πολύς (polús) 'marami', 'dami' at γωνία (gōnía) 'sulok' o 'anggulo'. Iminungkahi na ang kneeυ (gónu) 'tuhod' ay maaaring pinagmulan ng gon.

Pagpapakahulugan

Ang depinisyon o kahulugan ng isang poligono ay nakabatay paggamit nito. Halimbawa, kung tutukuyin ang isang pirasong rehiyon na nakasakop sa isang malawak na plano:

• Tatawagin nating isang poligono ang bahaging ito na nakalakip sa pamamagitan ng mga linyang poligonal.

Kapag tumutukoy naman sa pag-aaral na Euclideano tungkol sa kahabaan ng mga linya:

• Tatawagin nating poligono ang patag na heometrikong hugis ayon sa mga linyang poligonal nito kung saan ang dalawang magkabilang dulo ay nagkakadikit o nagkakasama.

Mga katangian at mga pormula

Isang n-gon, na nahahati sa n − 2 na tatsulok.

Sa buong, ipinapalagay ang heometriyang Euclidiyano.

Mga anggulo

Ang anumang poligon ay may kasing maraming sulok na gilid. Ang bawat sulok ay may maraming anggulo, na kung saan ang dalawang pinakamahalaga ay:

• Panloob na anggulo — Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isong simpleng n-gon ay (n − 2)π na radyan o (n − 2) × 180 na digri. Ito ay dahil ang anumang simpleng n-gon (na may n na gilid) ay maaari itong isaalang-alang ang kabuuan ng (n − 2) na tatsulok, at sa bawat tatsulok ang kabuuan ng mga anggulo ay π na radyan o 180°. Ang pagsukat na anumang panloob na anggulo ng isang konbeks na regular na n-gon ay $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ na radyan o $180-{\tfrac {360}{n}}$ na digri. Ang mga panloob na anggulo ng regular na poligong bituin ay pinag-aralan una silang ni Louis Poinsot, sa parehong sanaysay kung saan inilarawan niya ang apat na regular na polihedrong bituin: sa isang regular na ${\tfrac {p}{q}}$-gon (isang p-gon na may isang gitnang densidad q), ang bawat panloob na anggulo ay ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ na radyan o ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ na digri.
• Panlabas na anggulo — Ang panlabas na anggulo ay karagdagang anggulo ng panloob na anggulo. Habang binabakas namin ang isang konbeks na n-gon, ang anggulo na "lumiko sa isang sulok" ay panlabas na anggulo. Pagkatapos ng isang kompletong pagliko sa paligid ng poligon, dapat ang kabuuan ng panlabas na anggulo ay 360°.

Sukat

Ang mga koordinado ng isang hindi konbeks na pentagon.

Sa seksyong ito, tinukoy ang mga berteks ng poligon na pinag-aaralan bilang $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ sa ayos. Para sa kaginhawaan sa ilang mga pormula, din gagamitin ito ang notasyon (x_n, y_n) = (x₀, y₀).

Kung ang poligon ay hindi tumatawid ng sarili ito (yan ay, isang simpleng poligon), ang sukat ay

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{kung saan }}x_{n}=x_{0}{\text{ at }}y_{n}=y_{0},$

o, gamit mga determinante,

$16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},$

kung saan $Q_{i,j}$ ay ang kuwadradong distansya sa pagitan ng $(x_{i},y_{i})$ at $(x_{j},y_{j}).$

Kasaysayan

Naiintindihan ang mga poligon mula sa noong sinaunang panahon. Nag-aral ang mga sinaunang Griyego sila, at ang pentagram, isang hindi konbeks na regular na poligon (isang poligong bituin), ay lumitaw kasing aga ng ika-7 dantaon BC sa isang krater ng si Aristophanes, na natagpuan sa Caere at ngayon nasa Museo ng Capitoline.

Sa ika-14 na dantaon, gumawa si Thomas Bradwardine ng unang kilalang sistematikong pag-aaral ng mga hindi konbeks na poligon sa pangkahalatan.

Sa 1952, heneralisahin si Geoffrey Colin Shephard ang idea ng mga poligon sa komplikadong plano, kung saan bawa't tunay na dimensiyon ay sinamahan ng isang komplikadong dimensiyon, upang makalika ng mga komplikadong poligon.

Sa kalikasan

Lumilitaw ang mga poligon sa mga pormasyon ng bato, pinakakaraniwang bilang mga patag na mukha ng mga bubog, kung saan mga anggulo sa pagitan ng mga mukha ay depende sa uri ng mineral mula sa kung saan ang bubog ay ginawa.

Maaaring mangyari ang mga regular na heksagon kapag ang paglamig ng lava ay gumagawa ng mga area ng mga haligi ng basalto, na mahigpit na nakabalot, at na makikita sa Giant's Causeway sa Hilagang Irlanda, o sa Devil's Postpile sa California.

Sa biyolohiya, ibabaw ng anila na ginawa ng mga pukyutan ay ayos ng mga heksagon, at mga gilid at base ng bawa't silid din ay poligon.

Computer graphics

Sa computer graphics, ang poligon ay primitibo na ginagawit sa paghugis (modeling) at pagpakita (rendering). Sila ay tinukoy sa isang database, na naglalaman ng ayos ng mga berteks (ang mga koordinado ng mga heometrikong berteks, pati na rin ang iba pang mga katangian ng poligon, tulad ng kulay, tingkad at pagkakahabi), impormasyon sa pagkakakonekta, at mga materyales.

Tingnan din

• Ekwilateral na poligon

Ang lathalaing ito na tungkol sa Heometriya ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.