Rrafshi Euklidian

Sistemi i koordinatave dydimensionale karteziane

Në matematikë, një plan ose rrafsh Euklidian është një hapësirë Euklidiane me dimensionin dy, e shënuar ${\textbf {E}}^{2}$ ose $\mathbb {E} ^{2}$ . Është një hapësirë gjeometrike në të cilën kërkohen dy numra realë për të përcaktuar pozicionin e secilës pikë . Është një hapësirë afine, e cila përfshin në veçanti konceptin e drejtëzave paralele . Ai gjithashtu ka veti metrike të induktuara nga një largësi, e cila lejon përcaktimin e rrathëve dhe matjen e këndit .

Një plan Euklidian me një sistem koordinativ të zgjedhur kartezian quhet rrafsh kartezian . Bashkësia $\mathbb {R} ^{2}$ e çifteve të renditura të numrave realë ( rrafshi i koordinatave reale ), i pajisur me prodhimin skalar, shpesh quhet rrafshi Euklidian, pasi çdo rrafsh Euklidian është izomorfik ndaj tij.

Prodhimi pikë, këndi dhe gjatësia

Prodhimi pikë ose i brendshëm i dy vektorëve A = [A₁, A₂] dhe B = [B₁, B₂] përkufizohet si:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}$

Një vektor mund të paraqitet si një shigjetë. Madhësia e tij është gjatësia e tij, dhe drejtimi i tij është drejtimi që tregon shigjeta. Madhësia e një vektori A shënohet me $\|\mathbf {A} \|$ . Në këtë këndvështrim, produkti me pika i dy vektorëve Euklidian A dhe B përcaktohet nga

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,$

ku θ është këndi ndërmjet A dhe B.

Prodhimi pikë i vektorit A me veten është

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},$

që jep

$\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},$

formula për gjatësinë Euklidiane të vektorit.