Linearna algebra

Trodimenzionalni prostor Euklidov prostor R³ je vektor prostor, a linije i ravni koje prolaze kroz koordinatni početak su vektori R³.

Linearna algebra (lat: linealis, pripada liniji), je matematička disciplina koja se bavi vektorima i matricama i uopšte vektorskim prostorom i linearnim transformacijama. Za razliku od drugih dijelova matematike, u kojima se pojavljuju često novi i neriješeni problemi, u linearnoj algebri to nije česta pojava. Njena vrijednost leži u njenoj primjenjljivosti, počev od matematičke fizike, apstraktne algebre i primjene u ekonomiji, programiranju i računarstvu, itd.

Skup tačaka sa koordinatama koje zadovoljavaju linearne jednačine formiraju hiperravan u n-dimenzionalnom prostoru. Uslovi pod kojima skup od n hiperravni seku u jednoj tački je ono što linearna algebra proučava. Takva istraga je u početku motivisana sistemom linearnih jednačina koje sadrže nekoliko nepoznatih. Takve jednačine su predstavljene pomoću matrica i vektora.

Linearna algebra je centar sušte i primenjene matematike. Apstraktna algebra nastaje opuštanjem aksioma vektorskog prostora. Funkcionalna analiza proučava beskonačno — dimenzionalnu verzija teorije vektorskih prostora. U kombinaciji sa računom, linearna algebra olakšava rešavanje linearnih sistema diferencijalnih jednačina.

Za razliku od drugih delova matematike, u kojima se pojavljuju često novi i nerešeni problemi, u linearnoj algebri to nije česta pojava. Njena vrednost leži u njenoj primenljivosti, počev od inženjerstva, analitičke geometrije, matematičke fizike, apstraktne algebre i primene u ekonomiji, programiranju i računarstvu.

Istorija

Studije linearne algebre su inicijalno nastale iz izučavanja determinanti, koje su korištene za rešavanje sistema linearnih jednačina. Determinante je koristio Lajbnic 1693. godine, i naknadno je Gabrijel Kramer izveo Kramerovo pravilo za rešavanje linearnih sistema 1750. Kasnije je Gaus dalje razvio teoriju rešavanja linearnih sistema koristeći Gausovu eliminaciju, koja je inicijalno bila navedena kao napredak u geodeziji.

Studiranje algebre matrica je prvobitno nastalo u Engleskoj sredinom 1800-tih. Godine 1844 Herman Grosman je objavio „teoriju proširenja” koja je obuhvatala osnove toga što se danas naziva linearnom algebrom. Godine 1848, Džejms Džozef Silvester je uveo termin matrica, što je latinska reč za „matericu”. Dok je izučavao kompozicije linearnih transformacija, Artur Kejli je definisao množenje matrica i nalaženje inverznih matrica. On je koristio pojedinačna slova da označi matrice, te je stoga tretirao matrice kao agregatne objekte. On je isto tako uočio vezu između matrica i determinanti, i o tome je pisao: „Moglo bi se reći puno toga o ovoj teoriji matrica koja bi, kako meni izgleda, trebalo da prethodi teoriji determinanti”.

Godine 1882, Husejin Tevfik Paša je napisao knjigu s naslovom „Linearna algebra”. Prvu modernu i precizniju definiciju vektora je uveo Peano 1888. godine. Do 1900, teorija linearnih transformacija konačno dimenzionalnog vektorskog prostora se pojavila. Linearna algebra je poprimila svoju modernu formu u prvoj polovini dvadesetog veka, kad su mnoge ideje i metodi ranijih vekova bili generalizovani kao apstraktna algebra. Upotreba matrica u kvantnoj mehanici, specijalnoj relativnosti, i statistici pomogla je širenju predmeta linearne algebre izvan čiste matematike. Razvoj računara je doveo do znatnijeg istraživanja efikasnih algoritama za Gaousovu eliminaciju i dekompoziciju matrica, i linearna algebra je postala esencijalno oruđe za modelovanje i simulacije.

Poreklo znatnog broja tih ideja je diskutovano u člancima o determinantama i Gausovoj eliminaciji.

Obrazovna istorija

Linearna algebra se prvi put pojavila u američkim udžbenicima tokom 1940-tih. Nakon rada Studijske grupe matematičkih škola, u obrazovne programe 12. razreda srednjih škola u SAD je tokom 1960-tih uvedena „matrička algebra, koja je ranije predavana u koledžima”. U Francuskoj su tokom 1960-tih uvedena predavanja linearne algebre u vidu vektorskog prostora konačnih dimenzija u prvoj godini srednje škole. To je dovelo do reakcije tokom 1980.tih godina, koja je dovela do uklanjanja linearne algebre iz nastavnog plana i programa. Godine 1993, američka grupa za nastavni program linearne algebre preporučila da se fakultetski kursevi linearne algebre predaju u vidu aplikaciono bazirane „matrične orijentacije” umesto teoretske orijentacije. Pregledi nastave linearne algebre preporučuju stavljanje naglaska na vizualizaciju i geometrijsku interpretaciju teoretskih ideja, i uvrštavanje krunskog dragulja linearne algebre, dekompozicije singularne vrednosti (SVD), pošto ona nalazi primenu u veoma velikom broju disciplina. Da bi se poboljšao asortiman primena u 21. veku, kao što upotrebe u oblastima analize podataka i analize nesigurnosti, linearna algebra može da bude bazirana na SVD umesto na Gausovoj eliminaciji.

Opseg izučavanja

Vektorski prostori

Glavne strukture linearne algebre su vektorski prostori. Vektorski prostor preko polja F (obično polja realnih brojeva) je skup V na kome su primenljive dve binarne operacije koje zadovoljavaju sledeće aksiome. Elementi skupa V se nazivaju vektorima, a elementi F se nazivaju skalarima. Prva operacija, vektorska adicija, uzima dva vektora v i w i proizvodi treći vektor v + w. Druga operacija, skalarno množenje, uzima bilo koji skalar a i bilo koji vektor v i formira novi vektor av. Operacije sabiranja i množenja u vektorskom prostoru moraju da zadovolje sledeće aksiome. Na donjoj listi, neka su u, v i w arbitrarni vektori u V, a a i b skalari u F.

Aksiom	Smisao
Asocijativnost adicije	u + (v + w) = (u + v) + w
Komutativnost adicije	u + v = v + u
Element identiteta adicije	Postoji element 0 ∈ V, koji se naziva nulti vektor, takav da je v + 0 = v za svako v ∈ V.
Inverzni elementi adicije	Za svaki v ∈ V, postoji element −v ∈ V, koji se naziva aditivna inverzija vektora v, takav da je v + (−v) = 0
Distributivnost skalarnog množenja u pogledu vektorske adicije	a(u + v) = au + av
Distributivnost skalarnog množenja u pogledu polja adicije	(a + b)v = av + bv
Kompatibilnost skalarnog množenja sa množenjem polja	a(bv) = (ab)v
Element identiteta skalarnog množenja	1v = v, gde 1 označava identitet množenja u F.

Prva četiri aksioma formulišu V kao abelovu grupu u kontekstu vektorske adicije. Elementi vektorskog prostora mogu da budu različite prirode; na primer, oni mogu da budu sekvence, funkcije, polinomi ili matrice. Linearna algebra se bavi svojstvima koja su zajednička za sve vektorske prostore.

Linearne transformacije

Slično teorijama drugih algebarskih struktura, linearna algebra studira mapiranja između vektorskog prostora koja prezerviraju vektorsko prostorne strukture. Ako su data dva vektorska prostora V i W na polju F, linearna transformacija (koja se isto tako naziva linearna mapa, linearno mapiranje ili linearni operator) je mapiranje

$T:V\to W$

koje je kompatibilno sa adicijom i skalarnim množenjem:

$T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)$

za bilo koje vektore u,v ∈ V i skalare a ∈ F.

Dodatno za vektore u, v ∈ V i skalare a, b ∈ F:

$\quad T(au+bv)=T(au)+T(bv)=aT(u)+bT(v)$

Kad postoji bijekciono linearno mapiranje između dva vektorska prostora (drugim rečima, kad je svaki vektor iz drugog prostora asociran sa tačno jednim iz prvog), može se reći da su dva prostora izomorfna. Pošto izomorfizam prezervira linearnu strukturu, dva izomorfna vektorska prostora su „esencijalno ista” sa tačke gledišta linearne algebre. Jedno esencijalno pitanje u linearnoj algebri je da li je mapiranje izomorfno ili nije, i odgovor na to pitanje se može naći proveravanjem da je vrednost determinante različita od nule. Ako mapiranje nije izoformno, linearna algebra ima interes u nalaženju njegovog opsega (ili slike) i stup elemenata koji se mapiraju u nulu, zvani jezgro mapiranja.

Linearne transformacije imaju geometrijski značaj. Na primer, 2 × 2 realne matrice predstavljaju standardna planarna mapiranja koja prezerviraju koordinatni početak.

Literatura

• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. Texts in Statistical Science (1st izd.). Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1420095388. 
• Strang, Gilbert (19. 7. 2005). Linear Algebra and Its Applications (4th izd.). Brooks Cole. ISBN 978-0-03-010567-8. 
• Dorier, Jean-Luc; Robert, Aline; Robinet, Jacqueline; Rogalsiu, Marc (2000). Dorier, Jean-Luc. ur. The Obstacle of Formalism in Linear Algebra. Springer. str. 85–124. ISBN 978-0-7923-6539-6. Pristupljeno 9. 7. 2014. 

Istorija

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979). pp. 809.–817.
• Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

Uvodni udžbenici

• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. Texts in Statistical Science (1st izd.). Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1420095388. 
• Bretscher, Otto (2004). Linear Algebra with Applications (3rd izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-145334-0. 
• Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004). Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox. AK Peters. ISBN 978-1-56881-234-2. 
• Murty, Katta G. (2014). Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4366-62-5.  Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
• Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th izd.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6. 
• Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra, arhivirano iz originala na datum 2014-03-01, pristupljeno 2024-05-31 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th izd.), Wiley International 
• Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007). Elementary Linear Algebra with Applications (9th izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-229654-0. 
• Lay, David C. (2005). Linear Algebra and Its Applications (3rd izd.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-28713-7. 
• Leon, Steven J. (2006). Linear Algebra With Applications (7th izd.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-185785-8. 
• Poole, David (2010). Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd izd.). Cengage – Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-73545-2. 
• Ricardo, Henry (2010). A Modern Introduction To Linear Algebra (1st izd.). CRC Press. ISBN 978-1-4398-0040-9. 
• Sadun, Lorenzo (2008). Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd izd.). AMS. ISBN 978-0-8218-4441-0. 

Napredni udžbenici

• Axler, Sheldon (2004). Linear Algebra Done Right (2nd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8. 
• Bhatia, Rajendra (1996). Matrix Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-94846-1. 
• Demmel, James W. (1997). Applied Numerical Linear Algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-389-3. 
• Dym, Harry (2007). Linear Algebra in Action. AMS. ISBN 978-0-8218-3813-6. 
• Gantmacher, F.R. (2005). Applications of the Theory of Matrices. Dover Publications. ISBN 978-0-486-44554-0. 
• Gantmacher, Felix R. (1990). Matrix Theory Vol. 1 (2nd izd.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1376-8. 
• Gantmacher, Felix R. (2000). Matrix Theory Vol. 2 (2nd izd.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2664-5. 
• Gelfand, I. M. (1989). Lectures on Linear Algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66082-0. 
• Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006). Finite-Dimensional Linear Analysis. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45332-3. 
• Golan, Johnathan S. (2007). The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd izd.). Springer. ISBN 978-1-4020-5494-5. 
• Golan, Johnathan S. (1995). Foundations of Linear Algebra. Kluwer. ISBN 978-0-7923-3614-3. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd izd.). The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Greub, Werner H. (1981). Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (4th izd.). Springer. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd izd.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251 
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2002). Linear Algebra (4th izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-008451-4. 
• Halmos, Paul R. (1993). Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90093-3. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1. 
• Lang, Serge (2004). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-96412-6. 
• Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010). A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. Dover Publications. ISBN 978-0-486-67102-4. 
• Meyer, Carl D. (2001). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 978-0-89871-454-8. Arhivirano iz originala na datum 31. 10. 2009. 
• Mirsky, L. (1990). An Introduction to Linear Algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7. 
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (2nd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-24766-3. 
• Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9. 
• Shilov, Georgi E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7. 
• Shores, Thomas S. (2006). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-33194-2. 
• Smith, Larry (1998). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-98455-1. 
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. ISBN 978-0-898-71361-9. 

Studijski vodiči i pregledi

• Leduc, Steven A. (1996). Linear Algebra (Cliffs Quick Review). Cliffs Notes. ISBN 978-0-8220-5331-6. 
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2000). Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-136200-9. 
• Lipschutz, Seymour (1989). 3,000 Solved Problems in Linear Algebra. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-038023-3. 
• McMahon, David (2005). Linear Algebra Demystified. McGraw–Hill Professional. ISBN 978-0-07-146579-3. 
• Zhang, Fuzhen (2009). Linear Algebra: Challenging Problems for Students. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9125-0. 
• Sharipov, Ruslan (2004). Course of linear algebra and multidimensional geometry. arXiv:math.HO/0405323. Bibcode 2004math......5323S. 

Spoljašnje veze

Linearna algebra na Wikimedijinoj ostavi

• International Linear Algebra SocietyArhivirano 2014-01-03 na Wayback Machine-u
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Linear Algebra on MathWorld.
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols

Onlajn knjige

• Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
• Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
• Hefferon, Jim, Linear Algebra Arhivirano 2014-03-01 na Wayback Machine-u
• Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong