Twierdzenie Skorochoda

Twierdzenie Skorochoda – twierdzenie w teorii prawdopodobieństwa, które mówi, że ciąg słabo zbieżnych miar probabilistycznych, którego granica zachowuje się odpowiednio dobrze, może być przedstawiony jako ciąg rozkładów zbieżnych prawie na pewno zmiennych losowych, określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Jego nazwa pochodzi od nazwiska sowieckiego matematyka Anatolija Skorochoda.

Treść twierdzenia

Niech $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej $S$ takim, że $\mu _{n}$ zbiega słabo do pewnej miary $\mu$ na $S$ przy $n\to \infty .$ Ponadto załóżmy, że nośnik $\mu$ jest ośrodkowy. Wówczas istnieje ciąg zmiennych losowych $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ określonych na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ o wartościach w $S$ takich, że $\mu _{n}$ jest rozkładem zmiennej $X_{n}$ dla każdego $n$ oraz $X_{n}$ zbiegają prawie na pewno do zmiennej $X$ o rozkładzie $\mu .$

Wersja twierdzenia dla $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}(\mathbb {R} ))$

Jeśli $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem miar probabilistycznych na $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )),$ zbieżnym słabo do miary $\mu ,$ to istnieją zmienne losowe $X_{n}$ i $X$ określone na przedziale $(0,1)$ z σ-ciałem zbiorów borelowskich i miarą Lebesgue′a o rozkładach odpowiednio $\mu _{n}$ i $\mu ,$ i takich, że $X_{n}(\omega )\to X(\omega )$ dla każdego $\omega \in (0,1).$

Dowód:

Rozważmy dystrybuanty $F_{n}$ oraz $F$ odpowiadające miarom $\mu _{n}$ i $\mu .$ Dla $0<\omega <1$ określmy $X_{n}(\omega )=\inf\{x:\omega \leqslant F_{n}(x)\}$ i analogicznie dla zmiennej $X.$ Ponieważ $\omega \leqslant F_{n}(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X_{n}(\omega )\leqslant x,$ to

$\mathbb {P} \{\omega :X_{n}(\omega )\leqslant x\}=\mathbb {P} \{\omega :\omega \leqslant F_{n}(x)\}=F_{n}(x).$

Zatem zmienna losowa $X_{n}$ ma dystrybuantę $F_{n};$ analogicznie zmienna $X$ ma dystrybuantę $F.$

Teraz pozostaje pokazać, że $X_{n}(\omega )\to X(\omega ).$ Dla $\omega \in (0,1)$ i danego $\varepsilon$ wybierzmy takie $x,$ że $X(\omega )-\varepsilon <x<X(\omega )$ oraz $\mu \{x\}=0.$ Wówczas $F(x)<\omega$ oraz ze zbieżności $F_{n}\to F$ wynika, że dla dostatecznie dużego $n$ zachodzi $F_{n}(x)<\omega ,$ a stąd $X(\omega )-\varepsilon <x<X_{n}(\omega ).$ Zatem $\liminf X_{n}(\omega )\geqslant X(\omega ).$ Jeśli $\omega <\omega '$ i $\varepsilon$ jest dodatnie, to wybierzmy takie $y,$ dla którego $X(\omega ')<y<X(\omega ')+\varepsilon$ i $\mu \{y\}=0.$ Ponieważ $\omega <\omega '<F(X(\omega '))<F(y),$ to $\omega \leqslant F_{n}(y)$ dla dostatecznie dużych $n$ i stąd $X_{n}(\omega )\leqslant y<X(\omega ')+\varepsilon .$ Tak więc $\limsup X_{n}(\omega )\leqslant X(\omega '),$ o ile $\omega <\omega '.$ Zatem jeśli $X$ jest ciągła w $\omega ,$ to $X_{n}(\omega )\to X(\omega ).$

Ponieważ zmienna losowa $X$ jest niemalejąca na przedziale $(0,1),$ to może ona mieć co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości. W punktach tych przyjmijmy $X_{n}(\omega )=X(\omega )=0.$ Wówczas istotnie $X_{n}(\omega )\to X(\omega )$ dla każdego $\omega ,$ a ponieważ zmienne $X_{n}$ i $X$ zostały zmienione na zbiorze miary 0, to ich rozkłady są równe $\mu _{n}$ i $\mu .$

Zobacz też

• zbieżność według rozkładu

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2021, s. 328. ISBN 978-83-01-21679-5.
• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. Brak numerów stron w książce