Miara wektorowa

Miara wektorowa – w teorii miary, addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą, lecz stanowi uogólnienie koncepcji miary na wartości wektorowe.

Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja

Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest ciałem zbiorów oraz $E$ przestrzenią unormowaną, to funkcję $\nu \colon {\mathcal {F}}\to E,$ spełniającą warunek

$\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$

dla wszelkich rozłącznych zbiorów $A,B\in {\mathcal {F}},$ nazywamy miarą wektorową.

Jeśli ${\mathfrak {M}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ to funkcję $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to E$ nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała ${\mathfrak {M}}$ spełniony jest warunek:

$\nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})$

Wahanie i półwahanie

Jeżeli $\nu \colon {\mathcal {F}}\to E$ jest miarą wektorową, to funkcję $|\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ określoną wzorem

$|\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},$ gdzie $\Pi \subset {\mathcal {F}}$ jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że $\bigcup \Pi =A$ nazywamy wahaniem miary wektorowej $\nu .$

Funkcję $\|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],$ określoną wzorem

$\|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}$

nazywamy półwahaniem miary wektorowej $\nu .$

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności

• Jeżeli ${\mathfrak {M}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ a $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R}$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to

$|\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},$ gdzie $\nu ^{+},\nu ^{-},$ to odpowiednio wahanie górne i dolne.

• Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
• Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
• Jeżeli $\nu$ jest miarą wektorową, to $\|\nu \|\leqslant |\nu |.$
• Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
• Niech ${\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})$ (σ-ciało generowane przez ciało ${\mathcal {F}};$ porównaj: definicję). Jeśli $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to E$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi równość: $|\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).$
• Jeżeli wahanie miary wektorowej $\nu$ jest miarą skończoną, to $\nu$ jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
• Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
• Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech $T\colon L_{\infty }[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru $A\subset [0,1]$ określmy odwzorowanie

$\nu (A)=T(\chi _{A}),$ gdzie $\chi _{A}$ jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech $T\colon L_{1}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja $\nu$ dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego $A\subset [0,1]$

$\|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,$ gdzie $l$ jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także $\|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,$ co dowodzi, że $\nu$ jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech ${\mathcal {L}}|_{[0,1]}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $[0,1]$ mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja $\nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]$ dana wzorem

$\nu (A)=\chi _{A},$ dla $A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}$ jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech ${\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.$ Funkcja $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ dana wzorem

$\nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.$ jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w.

Zobacz też

• wektor