Algebra liniowa

Wykład dotyczący podstaw algebry macierzy

Algebra liniowa – dział algebry opisujący przestrzenie liniowe i inne moduły, zwłaszcza skończonego wymiaru, a także blisko powiązane tematy jak układy równań liniowych i macierze. Algebra liniowa obejmuje przez to zarówno elementy algebry elementarnej, jak i abstrakcyjnej.

Algebra liniowa jest narzędziem różnych dziedzin matematyki oraz innych nauk, zwłaszcza empirycznych i technicznych. Do jej pojęć i twierdzeń odwołują się teoria liczb, geometria, inne obszary algebry, analiza matematyczna z równaniami różniczkowymi i tematy o licznych zastosowaniach jak programowanie liniowe. Fizyka teoretyczna korzysta ze wspomnianych dyscyplin, wiele jej wielkości to wektory i tensory, a mechanika kwantowa jest formalizowana jako teoria pewnego typu przestrzeni wektorowych (przestrzeń Hilberta). W ekonomii algebra liniowa dostarcza metod modelowania i rozwiązywania problemów związanych z alokacją zasobów. Macierze są też podstawą niektórych technik kryptograficznych i technologii informatycznych jak sieci neuronowe i uczenie maszynowe.

Podstawowe problemy zaliczane do tej dziedziny – jak układ dwóch równań liniowych zmiennych rzeczywistych – postawiono i rozwiązano już w starożytności. W nowożytności nastąpiły intensywny rozwój jej pojęć, wyodrębnienie tej dziedziny i nazwanie jej. Niektóre wyniki z jej pogranicza opublikowano dopiero w II połowie XX wieku – przykładem jest algorytm Strassena. W XXI wieku algebra liniowa bywa uznawana za poznaną dość dobrze, jednak istnieje całe towarzystwo naukowe jej poświęcone, wydające czasopisma na jej temat i przyznające nagrody za jej rozwój.

Zagadnienia

Algebra liniowa zawiera teorie:

• form kwadratowych,
• macierzy,
• homomorfizmów (przekształceń liniowych) między przestrzeniami liniowymi,
• przekształceń dwuliniowych (np. iloczyn skalarny)
• przekształceń antyliniowych (np. iloczyn skalarny w przestrzeniach zespolonych)
• przekształceń półtoraliniowych,
• przekształceń wieloliniowych.

Naukowcy

Tej dziedzinie algebry przysłużyli się między innymi:

• Isaac Newton (1643–1727)
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)
• Seki Takakazu
• Gabriel Cramer (1704–1752)
• Alexandre-Théophile Vandermonde
• Pierre Simon de Laplace (1749–1827)
• Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
• William Rowan Hamilton (1805–1865)
• Hermann Grassmann (1809–1877)
• James Joseph Sylvester (1814–1897)
• Arthur Cayley (1821–1895)
• Leopold Kronecker (1823–1891)
• Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922)
• Alfredo Capelli (1855–1910)
• Giuseppe Peano (1858–1932)
• Hermann Weyl (1885–1955)
• Volker Strassen (1936–)

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej Tom 1 i 2, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002.
• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
• Aleksiej Kostrikin: Wstęp do algebry: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowania, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2009.

Linki zewnętrzne

• Algebra liniowa z geometrią analityczną (materiały dydaktyczne przygotowane w ramach projektu Opracowanie programów nauczania na odległość na kierunku studiów wyższych – Informatyka.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Linear Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-06].
• Linear algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-10-06].
• Grant Sanderson, Essence of linear algebra, kanał 3blue1brown na YouTube, 16 marca 2019 [dostęp 2021-03-15] – krótki, animowany kurs algebry liniowej.