Hamilton-optikk

Refleksjon av lysstråler i et sfærisk speil.

Hamilton-optikk er en matematisk metode for beskrivelse av lysstråler i geometrisk optikk. Den er basert på Fermats prinsipp og ble utviklet i løpet av noen få år rundt 1830 av William Rowan Hamilton. Han etablerte forskjellige, karakteristiske funksjoner som oppfyller ulike differensialligninger avhengig av det medium lyset går gjennom. Ved å angi utgangspunkt og retning av en lysstråle kan man herav beregne hvordan strålen videre vil bevege seg.

Metoden fikk stor oppmerksomhet i 1832 da Hamilton kunne forutsi et spesielt, optisk fenomen i dobbeltbrytende krystaller og som kort tid etterpå ble eksperimentelt verifisert. På slutten av 1800-tallet ble hans beskrivelse av optiske fenomen vist å være i overensstemmelse med Maxwell-teorien for elektromagnetiske bølger når disse forenkles i eikonalapproksimasjonen.

Lignende betraktninger førte til at Hamilton i de følgende årene kunne beskrive bevegelse av materielle partikler på en mer systematisk måte som i dag kalles for Hamilton-mekanikk. Denne fikk større betydning enn hans optiske arbeid og ville senere danne grunnlaget for moderne kvantemekanikk.

Karakteristisk funksjon

Ved bruk av Fermats prinsipp kan man beregne hvordan en lysstråle beveger seg fra et punkt r₁ = (x₁,y₁,z₁) gjennom et medium med brytningsindeks n(r) til et annet punkt r₂ = (x₂,y₂,z₂) ved å løse differensialligningen som følger fra dette variasjonsprinsippet. En vilkårlig lysstråle kan beskrives som en kurve r = r(s) når den parametrisere ved buelengden s. Matematisk kan dette prinsippet da formuleres som at den optiske lengden gitt ved integralet

$V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\!ds\,n(\mathbf {r} )$

langs strålen, skal ha en ekstremalverdi som vanligvis er et minimum. Dette uttrykket er Hamiltons første, karakteristiske funksjon.

En generell variasjon r → r + δr av lysets gang gjennom mediet resulterer i en tilsvarende variasjon i den optiske veilengden,

$\delta V=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\!(\delta ds)n(\mathbf {r} )+\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\!ds\,\delta n(\mathbf {r} )$

hvor δn = ∇n⋅δr. Ved å benytte at ds² = d r⋅d r slik at ds δds = d r⋅δd r, følger at

$\delta ds={d\mathbf {r} \over ds}\cdot \delta d\mathbf {r} =\mathbf {s} \cdot d\delta \mathbf {r}$

der s = d r/ds er tangentvektoren til lysstrålen med s⋅s = 1. Vektoren p = n s oppfyller derfor p⋅p = n² og blir ofte kalt for den optiske impulsen til strålen.

Variasjonen δV kan forenkles ved en partiell integrasjon. Når man lar også endepunktene r₁ og r₂ være frie, finner man dermed

$\delta V=\mathbf {p} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}+\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\!ds{\Big (}{\boldsymbol {\nabla }}n-{d\mathbf {p} \over ds}{\Big )}\cdot \delta \mathbf {r}$

For en lysstråle mellom to faste punkt som betyr at δr₁ = δr₂ = 0, vil nå Fermats prinsipp δV = 0 bety at integralet må være lik med null. For at dette kravet skal være oppfylt for alle variasjoner δr, må

${d\mathbf {p} \over ds}={\boldsymbol {\nabla }}n$

være oppfylt. Dette er Euler-Lagrange-ligningen for kurven som bestemmer banen til den virkelige lysstrålen. Den viser hvordan retningen til lysstrålen er gitt ved forandringer i brytningsindeksen.

Eikonalligningen

Det generelle uttrykket for variasjonen av den karakteristiske funksjonen inneholder mer informasjon. Hvis man betrakter virkelige lysstråler mellom to variable endepunkt r₁ og r₂ slik at integralet ikke bidrar til δV, vil derfor ha den differensielle sammenhengen

$dV(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\mathbf {p} _{2}\cdot d\mathbf {r} _{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot d\mathbf {r} _{1}$

Retningene p₁ og p₂ til lysstrålene i endepunktene er derfor gitt ved gradienten til den karakteristiske funksjonen,

$\mathbf {p} _{1}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} _{1}}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}),\;\;\;\mathbf {p} _{2}={\partial \over \partial \mathbf {r} _{2}}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})$

De to lysretningene står derfor vinkelrett på flatene definert ved V(r₁,r₂) = konstant. De opptrer derfor her på tilsvarende måte som ekvipotensialflater benyttes for å beskrive vektorfelt. Betydningen av slik fiktive flater i optikken ble først innsett av Malus på begynnelsen av 1800-tallet.

Da man generelt har at den optiske impulsvektoren oppfyller p⋅p = n², vil den karakteriskte funksjonen til Hamilton være en løsning av differensialligningen

$({\boldsymbol {\nabla }}V)^{2}={\Big (}{\partial V \over \partial x}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial V \over \partial y}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial V \over \partial z}{\Big )}^{2}=n^{2}$

Dette er akkurat samme ligning som opptrer for eikonalfunksjonen S(r) som opptrer når man beskriver lysstrålene i bølgeteori. Den har et differensial dS = ds n  slik at man formelt kan skrive

$V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=S(\mathbf {r} _{2})-S(\mathbf {r} _{1})$

Dermed er disse to beskrivelsene knyttet sammen.

Eksempel

Den karakteristiske funksjonen kan formelt finnes ved å løse eikonalligningen. For de fleste situasjoner er det vanskelig eller umulig å finne eksakte løsninger. Ett av de enkleste tilfeller hvor dette er mulig, er refleksjon i et plant speil. For to punkt r₁ = (x₁,y₁) og r₂ = (x₂,y₂) som ligger i xy-planet, er den optiske veilengden for en lysstråle som går langs en rett linje fra det ene punktet til det andre gitt som

$V_{0}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$

når brytningsindeksen er konstant n = 1. Dette er også den karakteristiske funksjonen i dette trivielle tilfellet.

Hvis nå et speil ligger i planet y = 0, vil lysstrålen deles i to linjer ved at den reflekteres i et punkt (x, 0). Den fulle veilengden blir dermed

$V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\sqrt {(x-x_{1})^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {(x_{2}-x)^{2}+y_{2}^{2}}}$

Fermats prinsipp krever nå at denne er et minimum, det vil si at posisjonen x er bestemt ved at den deriverte dV /dx = 0. Det gir at

$x={x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1} \over y_{1}+y_{2}}$

slik at x - x₁ = k y₁ og x₂ - x = k y₂ hvor k = (x₂ - x₁)/(y₁ + y₂). Innsatt gir dette for funksjonen

${\begin{aligned}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})&=y_{1}{\sqrt {1+k^{2}}}+y_{2}{\sqrt {1+k^{2}}}\\&={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}\end{aligned}}$

Gradientene ∇₁ og ∇₂ vil nå gi de trigonometriske funksjonene til vinkelene som lysstrålen danner med aksene i de to endepunktene. Bortsett fra et fortegn, er disse vinklene like store som de skal være ifølge refleksjonsloven.

Andre karakteristiske funksjoner

Da retningen p₁ til lyset sendt ut fra r₁ er gitt ved gradienten av den karakteristiske funksjonen i dette punktet, kan man ved en Legendre-transformasjon definere en ny, karakteristisk funksjon

$W(\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2})=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})-\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {r} _{2}$

Ved å benytte differensialet dV(r₁,r₂) = p₂⋅d r₂ - p₁⋅d r₁, blir nå

$dW(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{2})=-\mathbf {p} _{1}\cdot d\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\cdot d\mathbf {p} _{2}$

Dermed er

$\mathbf {p} _{1}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} _{1}}W(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{2}),\;\;\;\mathbf {r} _{2}=-{\partial \over \partial \mathbf {p} _{2}}W(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{2})$

slik at den muliggjør å bestemme retningen til strålen i begynnelsespunktet og dens endepunkt da den selv er en funksjon av begynnelsespunktet og retningen i sluttpunktet. Mens den første funksjonen V(r₁,r₂) kalles for en punkt-til-punkt-funksjon, er denne andre, karakteristiske funksjonen er punkt-til-vinkel-funksjon.

Den tredje og siste, karakteristiske funksjonen er vinkel-til-vinkel-funksjonen gitt ved enda en Legendre-transformasjon,

$T(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2})=W(\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2})+\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}$

og dermed

$dT(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot d\mathbf {p} _{1}-\mathbf {r} _{2}\cdot d\mathbf {p} _{2}$

Nå er derfor

$\mathbf {r} _{1}={\partial \over \partial \mathbf {p} _{1}}T(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2}),\;\;\;\mathbf {r} _{2}=-{\partial \over \partial \mathbf {p} _{2}}T(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2})$

slik at denne funksjonen gjør det mulig å bestemme begynnelsespunktet og sluttpunktet ut fra retningene til strålen i disse to punktene.

For refleksjon i et sfærisk speil kan denne funksjonen beregnes. Angir man retningen til strålen med de tre koordinatene p = (α,β,γ) med brytningsindeks n = 1, er

$T(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2})=R{\sqrt {(\alpha _{1}-\alpha _{2})^{2}+(\beta _{1}-\beta _{2})^{2}+(\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}}$

der R er redius til speilet. Uttrykket kan lett generaliseres til også å gjelde for brytning i en sfærisk grenseflate.

Lagrange-formalisme

Den optiske impulsen p = n d r/ds er proporsjonal med cosinus til de tre vinklene som angir retningen til lysstrålen. Disse er ikke uavhengige av hverandre, noe som medfører at denne impulsen har en lengde som er fiksert av brytningsindeksen n. Som ved benyttelsen av Fermats prinsipp kan man unngå dette problemet ved å benytte en annen parametrisering av den kurven som lysstrålen beskriver.

Av stor praktisk og teoretisk betydning er å velge en av de kartesiske koordinatene i posisjonsvektoren r = (x,y,z). Hvis lysets gang er hovedsakelig langs z-aksen, er det da naturlig å velge z som uavhengig parameter. Veien til lysstrålen er da gitt ved funksjonene x = x(z) og y = y(z). Den optiske veilengden mellom to punkt eller eikonalfunksjonen er da gitt ved integralet

$S(\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\!ds\,n(\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\!dz\,n(x,y,z){\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}$

hvor ${\dot {x}}=dx/dz$ og ${\dot {y}}=dy/dz$. Matematisk er nå dette problemet det samme som Hamiltons virkningsprinsipp for en partikkel som beveger seg i et todimensjonalt rom med koordinater q = (x,y) hvor z spiller rollen som en tidskoordinat.

Historisk var det de optiske arbeidene som førte Hamilton til en lignende beskrivelse av bevegelsen til materielle partikler. Hans Hamilton-mekanikk viste seg på sikt å få større betydning enn hans matematiske formulering av optiske fenomen.

Hamilton-funksjon

Fra virkningsintegralet kan man nå identifisere den optiske Lagrange-funksjonen med

$L(q,{\dot {q}},z)=n(q,z){\sqrt {1+{\dot {q}}^{2}}}$

Den kanoniske impulsen

$p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}={n{\dot {q}} \over {\sqrt {1+{\dot {q}}^{2}}}}$

har to komponenter (p_x, p_y) som angir retningen til lysstrålen i forhold til z-aksen. Herfra finner man at ${\dot {q}}=n/(1+{\dot {q}}^{2})^{1/2}$ slik at den tilsvarende Hamilton-funksjonen følger fra en Legendre-transformasjonen som

$H={\dot {q}}p-L=-{\sqrt {n^{2}-p^{2}}}=-p_{z}$

Lysets gang beskrives nå av de to Hamilton-ligningene som begge er av første grad,

${\begin{aligned}{\dot {q}}&={\partial H \over \partial p}={p \over {\sqrt {n^{2}-p^{2}}}}\\{\dot {p}}&=-{\partial H \over \partial q}={n \over {\sqrt {n^{2}-p^{2}}}}{\partial n \over \partial q}\end{aligned}}$

De er ekvivalent med Euler-Lagrange-ligningen som følger direkte fra Fermats prinsipp og er av andre grad.

Paraksial approksimasjon

Hvis lysstrålen beveger seg hele veien tett langs z-aksen, kan bevegelsesligningene forenkles. Da er de optiske impulsene eller retningsvinklene små slik at p << n slik at Hamilton-funksjon tilnærmet blir

$H=-n+{p^{2} \over 2n}$

som for en ikke-relativistisk partikkel. Det betyr at med samme nøyaktighet er ${\dot {q}}=p/n$ slik at den andre Hamilton-ligningen git

${d \over dz}{\big (}n{\dot {q}}{\big )}={\partial n \over \partial q}$

Da koordinaten q = (x,y), er dette ekvivalent med de samme paraksiale ligninger som også kan finnes direkte fra Fermats prinsipp i denne approksimasjonen.