Kempes slo gjennom for Rosario Central i heimlandet, ein klubb han spelte for i tida 1974-76. Frå hausten 1976 til 1984 spelte han midtspiss for den spanske klubben Valencia CF, med unnatak for sesongen 1981/82, då han spelte for River Plate i Argentina. I sine to fyrste sesongar for Valencia vart han toppskårar i La Liga. Sidan 1984 spelte han i to år for spanske Hercules Alicante, og deretter i seks år med tre ulike klubbar i Austerrike; FC Wien, St. Pölten og Kremser SC.
Kempes var ein av fleire unge spelarar som fekk debutere då Argentina hausten 1973 spelte kvalifiseringskamp mot Bolivia i tynnlufta i La Paz. Fram til 1982 spelte han 43 landskampar og skåra 20 mål for Argentina. Høgdepunktet var fotball-VM 1978 på heimebane, der Kempes vart toppskårar i turneringa med seks mål og verdsmeister.
