In de Mathematik is een Afbillen oer Funktion een Relation tüsken twee Koppels .
Een Afbillen tüsken een Koppel
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Deelkoppel
f
⊆
A
×
B
{\displaystyle f\subseteq A\times B}
∀
a
∈
A
∃
b
∈
B
:
(
a
,
b
)
∈
f
{\displaystyle \forall a\in A\exists b\in B:(a,b)\in f}
d.b. för elk
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
(
a
,
b
)
∈
f
{\displaystyle (a,b)\in f}
In düssen Fall skrievt wi
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
Definitionskoppel , nå
B
{\displaystyle B}
Ennkoppel is, un beteekent met
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
Element van
B
{\displaystyle B}
(
a
,
f
(
a
)
)
∈
f
{\displaystyle (a,f(a))\in f}
Is
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
{
(
a
,
f
(
a
)
)
|
a
∈
A
}
{\displaystyle \{(a,f(a))|a\in A\}}
Graph van
f
{\displaystyle f}
Is
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
X
⊆
A
{\displaystyle X\subseteq A}
Y
⊆
B
{\displaystyle Y\subseteq B}
f
[
X
]
:=
{
f
(
a
)
|
a
∈
A
}
{\displaystyle f[X]:=\{f(a)|a\in A\}}
Bild
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
[
Y
]
:=
{
a
∈
a
|
f
(
a
)
∈
Y
}
{\displaystyle f^{-1}[Y]:=\{a\in a|f(a)\in Y\}}
Urbild
f
{\displaystyle f}
Een Afbillen
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
injektiv/Injektion , as för alle
a
,
a
′
∈
A
{\displaystyle a,a'\in A}
a
≠
a
′
{\displaystyle a\neq a'}
f
(
a
)
≠
f
(
a
′
)
{\displaystyle f(a)\neq f(a')}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
häuchstens een Urbild häff.surjektiv/Surjektion , as der för alle
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
f
(
a
)
=
b
{\displaystyle f(a)=b}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
minnstens een Urbild häff.bijektiv/Bijektion , as se injektiv un surjektiv is.Is de Definitionsberiek
D
{\displaystyle D}
Produktkoppel
D
=
A
×
B
{\displaystyle D=A\times B}
tweestiärig of binär.
Analog is een
n
{\displaystyle n}
-stiärige Relation op een Koppel
A
{\displaystyle A}
R
⊂
A
n
{\displaystyle R\subset A^{n}}
Alle Afbillens van
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
A
:=
{
f
∈
P
(
A
×
B
)
|
∀
a
∈
A
∃
!
b
∈
B
:
(
a
,
b
)
∈
f
}
{\displaystyle B^{A}:=\{f\in {\mathcal {P}}(A\times B)|\forall a\in A\exists !b\in B:(a,b)\in f\}}
![{\displaystyle f[X]:=\{f(a)|a\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6187bc129628a581de56071c40dc3f2a993e7b59)
![{\displaystyle f^{-1}[Y]:=\{a\in a|f(a)\in Y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a925a60eaeb1a8bbe007510449934ccd478b10)
