Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segi tiga yang berubah-ubah. Jika sisi segi tiga ialah a, b dan c dan sudut yang berhadapan dengan sisi iaitu A, B and C, maka, hukum sinus menyatakan

Trigonometri

Sejarah Kegunaan Fungsi Fungsi songsang Bacaan lanjut

Rujukan

Senarai identiti Pemalar tepat Menghasilkan jadual trigonometri

Teori Euclid

Hukum sinus Hukum kosinus Hukum tangen Teorem Pythagoras

Kalkulus

Penggantian trigonometri Kamiran fungsi Pembezaan fungsi Kamiran songsang

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Rumus ini berguna untuk mengetahui panjang sisi yang lain dari segi tiga tersebut jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik segi tiga. Hukum ini dapat juga digunakan apabila 2 sisi dan 1 sudut diketahui; dalam kes ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dinyatakan. Apabila hal ini terjadi, lazimnya hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kes lain, ada 2 penyelesaian sahih pada segi tiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter suatu lingkaran yang melalui ketiga-tiga bucu segi tiga, d. Kemudian hukum ini dapat ditulis sebagai

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=d.$

Dengan ini, dapat ditunjukkan bahawa:

$d={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

dengan s merupakan semiperimeter,

$s={\frac {(a+b+c)}{2}}$

Turutan

Bina segi tiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buat garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segi tiga siku-siku, dan nyatakan panjang garis ini sebagai h.

Didapati bahawa:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ and $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Kemudian:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

dan

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Lihat juga

• Hukum kosinus