전사 사상

범주론에서 전사 사상(全射寫像, 영어: epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_{1},g_{2}\colon Y\to Z$ 에 대하여, 만약 $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ 라면 $g_{1}=g_{2}$ 이다.
$X{\xrightarrow {f}}Y{\overset {g_{1}}{\underset {g_{2}}{\rightrightarrows }}}Z$

정규 전사 사상

영 사상을 갖는 범주 ${\mathcal {C}}$ 에서, 어떤 사상 $f\colon X\to Y$ 의 여핵 $\operatorname {coker} f\colon K\to X$ 으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(영어: normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

강한 전사 사상

범주 ${\mathcal {C}}$ 에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 영어: strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 $\pi \colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

{\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &&\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}

에서

i

가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상

Y\to A

가 존재한다.

{\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\pi }}&Y\\\downarrow &{\scriptstyle \exists !}\swarrow &\downarrow \\A&{\xrightarrow[{i}]{}}&B\end{matrix}}

극단 전사 사상

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 전사 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 극단 전사 사상(極端全射寫像, 영어: extremal epimorphism)이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g\colon X\to Z$ 및 단사 사상 $h\colon Z\to Y$ 에 대하여, 만약 $f=h\circ g$ 라면 $h$ 는 동형 사상이다.
${\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\\Z&{\xrightarrow[{h}]{}}&Y\end{matrix}}$

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 $f\colon X\to Y$ 및 그 오른쪽 역사상 $s\colon Y\to X$ 이 주어졌을 때 $f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}$ 이기 때문이다.

요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 전사 사상이다.
임의의 대상 $Z$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(\circ f)\colon \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\to \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)$ 는 단사 함수이다.
쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }$ 로 가는 요네다 매장 함자 $\hom _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }$ 아래서, $f$ 의 상 $(f\circ )\colon \hom _{\mathcal {C}}(-,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(-,Y)$ 은 쌍대 준층 토포스 $\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })$ 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $\operatorname {PSh} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })^{\operatorname {op} }$ 에서의 전사 사상)이다.

반대 범주

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 전사 사상은 그 반대 범주 ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 의 단사 사상이다.

예

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 에서의 전사 사상은 전사 함수이다.
군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$ 에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
체 $K$ 에 대하여, $K$ 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 $K{\text{-Vect}}$ 에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다.

전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

모노이드의 범주 $\operatorname {Mon}$ 에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 $\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 $M$ 의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) $G$ 가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 $M\to G$ 는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, ( $M$ 이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
환의 범주 $\operatorname {Ring}$ 에서, 포함 함수 $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {Haus}$ 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 $\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.