Coefficiente

Un coefficiente è un numero puro (rapporto tra due grandezze con la stessa unità di misura) o una quantità che moltiplica una variabile algebrica. Il nome deriva dal concetto di prodotto, in quanto sia il coefficiente che la variabile concorrono (co - efficere) alla costruzione del risultato.

Funzione

L'importanza dei coefficienti per la matematica è da ricercarsi nei polinomi, nelle equazioni e nei sistemi di equazioni algebriche, in quanto la soluzione che le verifica dipende unicamente dai coefficienti come ad esempio i coefficienti binomiali.

Altra importante applicazione in statistica è il coefficiente di curtosi.

Polinomi

In un polinomio $P(x)$ nella variabile $x,$ i monomi $a_{k}x^{k}$ possono essere ordinati in base a valori decrescenti dell'esponente $k$ (a partire da sinistra), ad esempio:

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}.

Per il maggiore valore di $k,$ tale per cui $a_{k}\neq 0,a_{k}$ si definisce coefficiente direttore (o direttivo) del polinomio $P.$

Ad esempio, il coefficiente direttore del polinomio:

P(x)=4x^{5}+x^{3}+2x^{2},

è $4,$ dove:

$4x^{5}$ si dice termine di grado massimo, e
$5$ è il grado del polinomio $P(x).$

Matrici

Per una matrice, si definisce coefficiente direttore di una riga il primo elemento non nullo della riga considerata.

Ad esempio, per la matrice:

M={\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},

il coefficiente direttore della prima riga è $1,$
il coefficiente direttore della seconda riga è $2,$
della terza riga è $4,$
l'ultima riga non ha alcun coefficiente direttore.

Esempi pratici

Esempio, da sole considerazioni su coefficienti si possono risolvere le equazioni algebriche o i sistemi lineari:

$ax+b=0$ è uguale a $x={-b \over a}$ se $a\neq 0$ , mentre è impossibile se $a=0$ e b diverso da 0, l'equazione è indeterminata se $a=b=0$ In questo esempio $a$ e $b$ sono coefficienti.

Esempio, una grandezza fisica ha un valore assoluto pari a un coefficiente numerico, moltiplicato per un'unità di misura:

Se una distanza L è pari a 3 metri, ciò significa che L, grandezza fisica, è pari al coefficiente 3 per l'unità di misura, il metro.

Scrivere $L=3$ è errato, poiché la lunghezza non sarà mai un numero puro, la dicitura corretta è: $L=3m$ ; oppure $L=300cm$ , oppure altra dicitura equivalente.

I coefficienti 3 e 300 indicano l'adattamento della quantità numerica alla grandezza fisica, in funzione dell'unità di misura utilizzata.

Esempio, una proporzione è un numerico puro, dove i due valori aventi la stessa unità di misura vengono confrontati:

Esempio, un appartamento è di 100 m², mentre il secondo è di 400 m², volendo fare una proporzione tra i due appartamenti si ottiene un numero puro (coefficiente):

${400m^{2} \over 100m^{2}}=4$ si ha che il secondo appartamento è 4 volte il primo.