קובייה

קובייה (הקסהדרון)

מודל תלת־ממדי של קובייה

קובייה (או הֶקְסַאהֶדְרוֹן רגולרי) היא פאון משוכלל בעל שש פאות ריבועיות הניצבות כל אחת לכל שכנותיה. לקובייה יש שמונה קודקודים ו־12 מקצועות שווים באורכם.

הקובייה מופיעה באופן טבעי במערכת צירים קרטזית, משום שהיא כדור היחידה של נורמת-אינסוף על המרחב האוקלידי התלת-ממדי.

קובייה היא מקרה פרטי של מקבילון, תיבה ומעוינון.

סימטריות

חבורת הסימטריות של הקובייה פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, על המקצועות ועל הפאות; פעולתה של חבורת הסימטריות על ארבעת אלכסוני הקובייה מממשת איזומורפיזם בינה לבין החבורה הסימטרית $S_{4}$. בפעולה על קבוצת האיחוד של הקודקודים, המקצועות והפאות, לכל איבר לא טריוויאלי בחבורת הסימטריות יש בדיוק שתי נקודות שבת בקבוצה, שהן שני איברי הקבוצה (קודקודים, מקצועות או פאות) דרכם עובר ציר הסיבוב. החבורה איזומורפית לחבורת הסימטריות של התמניון ולזו של הרומביקובוקטהדרון, אותו ניתן לקבל מהקובייה על ידי קטימת מקצועותיה וקודקודיה.

חבורת הסימטריות של השלד של הקובייה, שהוא הגרף המורכב מן הקודקודים והצלעות בלבד, היא מסדר 48; לסימטריות הקודמות נוסף גם שיקוף, שלא נכלל בחבורת הסימטריות של הקוביה.

תכונות גאומטריות

משִּשָּה ריבועים לקובייה. ההנפשה ממחישה את הקשר בין הפריסה הדו-ממדית של הקובייה, לקובייה עצמה.

אחת עשרה הפריסות האפשריות של הקובייה. מדובר בפריסות המשמרות את צורת הפאות.

ריצוף המרחב בעזרת קוביות. האיור ממחיש שריג מרחבי הבנוי מאינסוף תאים זהים שצורתם קובייה, צמודים זה לזה, ללא חללים ביניהם.

קובייה אפשר לאפיין באמצעות פרמטר אחד בלבד, למשל אורך אחד המקצועות: כל הקוביות שיש להן מקצועות שווים באורכם, חופפות זו לזו. באותה מידה ניתן לאפיין קובייה באמצעות שטח אחת הפאות שלה, שטח הפנים שלה או הנפח שלה.

בקובייה בעלת מקצוע $\ a$ מתקיים:

• שטח כל פאה הוא $\ a^{2}$.
• שטח הפנים הוא $\ 6{a}^{2}$.
• הנפח הוא $\ a^{3}$.

אם קובייה כזו תמוקם במערכת צירים קרטזית באופן שמרכזה בראשית הצירים, ומקצועותיה מקבילים לצירים, אזי קדקודיה ימצאו בקואורדינטות: $\ (\pm a/2,\pm a/2,\pm a/2)$.

אם $\ a=1$, הקובייה נקראת קוביית יחידה.

הצורה הדואלית של הקובייה, כלומר הפאון שיתקבל מחיבור בין מרכזי כל הפיאות, היא תמניון.

לקובייה יש אחת עשרה פריסות, המשמרות את צורת הפאות הריבועיות שלה. במילים אחרות, קיימות אחת עשרה דרכים להשטיח קובייה חלולה על ידי חיתוך שבעה ממקצועותיה.

קובייה היא הפאון האפלטוני היחיד (אך לא הפאון היחיד) שניתן לרצף בעזרתו את המרחב. כלומר: על ידי הצמדת קוביות רבות זו לזו מכל הכיוונים, כך שריבועיהן חופפים אלה לאלה, ניתן למלא את המרחב בקוביות בלי להשאיר חלל ריק ביניהן. תכונה זו חלה על הקובייה בלבד מבין הפאונים האפלטוניים משום שזהו הפאון היחיד מביניהם שהזווית הדו-מישורית שלו היא מחלק של 360°.

שימושים באנליזה

באמצעות קוביות אינפיניטסימליות מחשבים נפחים של גופים תלת-ממדיים כלשהם (כולל כדורים, גלילים, פאונים וגופי סיבוב למיניהם). ראו עוד: אנליזה וקטורית.

שימושים בחיי היום-יום

• קוביית משחק: קובייה בעלת 6 פאות המשמשת במשחקים כאלמנט לקביעת החלטות אקראיות והכנסת ממד של מזל ואקראיות למשחק. במשחקי תפקידים שולחניים יש שימוש ב"קוביות" משחק בעלות יותר מ-6 צדדים. אין הן קוביות בצורתן הגאומטרית, אך השם השתרש לשימוש גם בהתייחסות אליהן.
• קובייה הונגרית: פאזל מכני. קוביית פלסטיק שכל אחת משש הפאות שלה מחולקת לתשעה ריבועים שווים, היכולים לנוע ולהחליף מקומות אלו עם אלו. צדי הקובייה מכוסים לרוב במדבקות בשישה צבעים שונים, אחד לכל צד של הקובייה. כאשר הפאזל פתור, כל צד של הקובייה מורכב מצבע אחד בלבד.
• גבישי סוכר מסתדרים בצורת קובייה.
• קוביית קרח - גוש קרח קובייתי המקרר משקאות
• 
  קובייה הונגרית
• 
  קוביית קרח

ראו גם

• הכפלת הקובייה

קישורים חיצוניים

• קובייה, באתר MathWorld (באנגלית)
• קובייה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)