Función cadrática

En matemáticas, un polinomio cadrático é un polinomio de grao dous nunha ou máis variables. Unha función cadrática é a función polinómica definida por un polinomio cadrático.

Un polinomio cadrático con dúas raíces reais (cruces do eixe x) e, polo tanto, sen raíces complexas. Algúns outros polinomios cadráticos teñen o seu mínimo por riba do eixe x, nese caso non hai raíces reais e dúas raíces complexas.

Por exemplo, unha función cadrática cun unha única variábel ten a forma ^[1]

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

onde $x$ é a súa variable. A gráfica dunha función cadrática univariada é unha parábola, unha curva que ten un eixe de simetría paralelo ao eixe $y$ .

O caso bivariábel en termos de variabeis $x$ e $y$ ten a forma

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,

con polo menos un de $a, b, c$ non igual a cero. Os ceros desta función cadrática son, en xeral, unha sección cónica (un círculo ou outra elipse, unha parábola ou unha hipérbole ).

Unha función cadrática en tres variabeis $x$ , $y$ , e $z$ contén exclusivamente termos $x 2$ , $y 2$ , $z 2$ , $xy, xz, yz, x, y, z$ e unha constante:

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,

Unha función cadrática pode ter un número arbitrariamente grande de variabeis.

Terminoloxía

Coeficientes

Os coeficientes dunha función cadrática adoitan ser números reais ou complexos, mais pódense tomar en calquera anel, nese caso o dominio e o codominio son ese anel (ver avaliación polinomial).

Grao

Cando se usa o termo "polinomio cadrático", os autores normalmente queren dicir "ter o grao exactamente 2", mais ás veces pode ser "ter o grao como máximo 2". Se o grao é inferior a 2, pódese denominar como un " caso dexenerado ". Normalmente o contexto establecerá cal dos dous quere dicir.

Variabeis

Un polinomio cadrático pode implicar unha única variábel x (o caso univariábel) ou varias variabeis como x, y e z (o caso multivariábel).

O caso dunha soa variábel

Calquera polinomio cadrático dunha soa variábel pódese escribir como

ax^{2}+bx+c,

onde x é a variábel e a, b e c representan os coeficientes. Tales polinomios xorden a miúdo nunha ecuación de segundo grao $ax^{2}+bx+c=0.$ As solucións desta ecuación chámanse raíces e pódense expresar en termos de coeficientes como a fórmula cadrática. Cada polinomio cadrático ten asociada unha función cadrática, cuxa gráfica é unha parábola.

Casos bivariados e multivariados

Calquera polinomio cadrático con dúas variabeis pódese escribir como

ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,

onde $x$ e $y$ son as variabeis e $a, b, c, d, e, f$ son os coeficientes, e un de $a$ , $b$ e $c$ é distinto de cero. Estes polinomios son fundamentais para o estudo das seccións cónicas, xa que a ecuación implícita dunha sección cónica obtense igualando a cero un polinomio cadrático, e os ceros dunha función cadrática forman unha sección cónica (posiblemente dexenerada).

Do mesmo xeito, os polinomios cadráticos con tres ou máis variabeis corresponden a superficies cádricas ou hipersuperficies.

Os polinomios cadráticos que só teñen termos de grao dous chámanse formas cadráticas.

Formas dunha función cadrática univariábel

Unha función cadrática univariábel pódese expresar en tres formatos:^[2]

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ chámase forma estándar ,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$ chámase forma factorizada, onde $r 1$ e $r 2$ son as raíces da función cadrática e as solucións da ecuación cadrática correspondente.
$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ chámase forma de vértice, onde $h$ e $k$ son as coordenadas $x$ e $y$ do vértice, respectivamente.

O coeficiente $a$ é o mesmo valor nas tres formas. Para converter a forma estándar en forma factorizada só se necesita a fórmula cadrática para determinar as dúas raíces $r 1$ e $r 2$ . Para converter a forma estándar en forma de vértice, necesítase un proceso chamado completar o cadrado. Para converter a forma factorizada (ou forma de vértice) a forma estándar, hai que multiplicar, expandir e/ou distribuír os factores.

Gráfico da función univariábel

Independentemente do formato, a gráfica dunha función cadrática univariábel $f(x)=ax^{2}+bx+c$ é unha parábola (como se mostra á dereita). De forma equivalente, esta é a gráfica da ecuación cadrática bivariábel $y=ax^{2}+bx+c$ .

Se $a > 0$ , a parábola ábrese cara arriba.
Se $a < 0$ , a parábola ábrese cara abaixo.

O coeficiente $a$ controla o grao de curvatura da gráfica; unha maior magnitude de $a$ dálle á gráfica unha aparencia máis pechada (con curvas pronunciadas).

Os coeficientes $b$ e $a$ controlan xuntos a localización do eixe de simetría da parábola (tamén a coordenada $x$ do vértice e o parámetro h na forma do vértice) que está en

x=-{\frac {b}{2a}}.

O coeficiente $c$ controla a altura da parábola; máis concretamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixe $y$ .

Vértice

O vértice dunha parábola é o lugar onde xira; polo tanto, tamén se lle chama punto de inflexión. Se a función cuadrática está en forma de vértice, o vértice é $(h, k)$ .

Puntos máximos e mínimos

Usando o cálculo, o punto vértice, como é un máximo ou mínimo da función, pódese obter atopando as raíces da derivada:

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b

$x$ é a raíz de $f'(x)$ if $f'(x) = 0$ resultando en

x=-{\frac {b}{2a}}

co valor da función correspondente

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},

polo que as coordenadas do punto vértice, $(h, k)$ , pódense expresar como

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Raíces da función univariábel

Raíces exactas

As raíces (ou ceros), $r 1$ e $r 2$ , da función cadrática univariábel

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

son os valores de $x$ para os que $f (x) = 0$ .

Cando os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ , son reais ou complexos, as raíces o son

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Función cadrática bivariábel (dúas variables).

Unha función cadrática bivariábel é un polinomio de segundo grao da forma

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,

onde A, B, C, D e E son coeficientes fixos e F é o termo constante. Tal función describe unha superficie cadrática. Se facemos $f(x,y)$ igual a cero describe a intersección da superficie co plano $z=0,$ que é un lugar xeométrico de puntos equivalente a unha sección cónica.