Obrachadh càraideach

'S ann ri seataichean agus na h-obrachaidhean air eileamaidean dheth a tha ailseabra a' dèiligeadh. Tha i a' rannsachadh nam feartan coitcheann a thèid an tarraing bho na h-obrachaidhean seo gun sùil a thoirt air nàdar mionaideach an t-seata no nan obrachaidhean fhèin. Am measg nan obrachaidhean seo, tha obrachaidhean càraideach air leth cudromach.

'S e obrachadh eadar paidhir (no càraid) eileamaidean den t-seata a mhapas ri eileamaid den aon seata a th’ ann an obrachadh càraideach, ach feumaidh seo a bhith fìor do gach eileamaid den t-seata. Ann an comharran matamataig, tha an t-obrachadh * càraideach air an t-seata A, ma tha:

∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A, x * y ∈ A

Mar eisimpleir, 's e obrachadh càraideach a th’ ann an cur-ris air seata nan àireamhan nàdarra ℕ, oir 's e àireamh nàdarra a th' ann an suim dà àireimh nàdarra, ge b' e air bith na h-àireamhan a th' air an ròghnachadh. Ach chan e obrachadh càraideach a th' ann an toirt air falbh, oir tha e furasta gu leòr paidhir àireamhan a ròghnachadh nach map ri àireimh nàdarra fon obrachadh.

m.e. 5 – 7 = –2 ∉ ℕ.

Mur eil buil an obrachaidh na ball den aon seata, canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh fosgailte. Ma tha a' bhuil na ball den t-seata, 's e obrachadh dùinte a th' ann. 'S ann dùinte a tha obrachadh càraideach. Tha toirt air falbh na h-obrachadh càraideach air seata ℤ nan slàn-àireamhan, agus tha cur-ris, toirt air falbh agus iomadachadh nan obrachaidhean càraideach air na fìor-àireamhan ℝ. Chan eil roinneadh na obrachadh càraideach air ℝ oir chan fhaodar a roinn le neoni.

Tuairisgeul foirmeil

Tha obrachadh càraideach air seata A na fuincsean a mhapas an toradh Cartesach A × A ri A.

f : A × A → A

.i. ∀ (x, y) ∈ A², ∃ z ∈ A : f(x, y) = z

Mar as cumanta, tha comharra àraidh aig obrachadh càraideach (m.e. +, ×, ∩, 7c.) , mar eisimpleir cur-ris nan slàn-àireamhan:

+ : ℤ × ℤ → ℤ

+ (2, 3) = 5

+ (- 4, 11) = 7

ged tha e nas cumanta an comharra seo a' sgrìobhadh eadar àireamhan na càraide:

2 + 3 = 5

- 4 + 11 = 7

No, mas e * an comharra airson obrachaidh choitchinn:

a * b = c

Feartan obrachaidh càraidich

Faodaidh feartan àraidh a bhith aig obrachadh càraideach. 'S ann mar as leanas na feartan as cudromach:

Eileamaid ionnanachd

Ma tha an làthair eileamaid c den t-seata:

∀ x ∈ A, ∃ c ∈ A : c * x = x

's e eileamaid ionnanachd à clì a th' ann an c. Ma tha:

∀ x ∈ A, ∃ d ∈ A : x * d = d

's e eileamaid ionnanachd à deas a th' ann an d. 'S e eileamaid ionnanachd a th' ann an e ma tha e ionnanachd à clì agus à deas:

∀ x ∈ A, ∃ e ∈ A : e * x = x * e = x.

Co-iomlaideachd

Ma tha paidhir eileamaidean ann x agus y far a bheil:

x * y = y * x

's e paidhir co-iomlaideach a th' ann x agus y. Ma tha eileamaid a ann far a bheil, airson gach eileamaid x den t-seata:

∀ x ∈ A, ∃ a ∈ A : a * x = x * a

's e eileamaid co-iomlaideach a th' ann an a. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaidean den t-seata:

∀ (x, y) ∈ A², x * y = y * x

's e obrachadh co-iomlaideach a th' anns an *.

Roinnidheachd

Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den t-seata:

∀ (x, y) ∈ A², ∃ c ∈ A : x * c = y

's e so-roinnte à clì a th’ anns an obrachadh *. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den t-seata:

∀ (x, y) ∈ A², ∃ d ∈ A : d * x = y

's e so-roinnte à deas a th' anns an obrachadh *. 'S e obrachadh roinnidheach a th' anns an * ma tha e so-roinnte à clì agus à deas.

∀ (x, y) ∈ A², ∃ e ∈ A : x * e = e * x = y.

Iom-thionndadh

Ma tha eileamaid ionnanachd e ann, agus:

∀ x ∈ A, ∃ y ∈ A : x * y = e

's e eileamaidean iom-thionndaidh a th' anns an x agus y.

Co-thiomsachd

Ma tha a, w, x, y agus z nam buill den t-seata, agus ma tha w * x = a agus a * y = z. Faodar a sgrìobhadh:

(w * x) * y = z

far a bheil na camagan ( ) a' ciallachadh gum feumar an t-obrachadh a-stigh fhuasgladh ron fhear a-muigh. Nise, ma tha e fìor gu bheil:

∀ (x, y, z) ∈ A³, (x * y) * z = x * (y * z)

's e obrachadh co-thiomsach a th' anns an *.

Sgaoilidheachd

Ma tha dà obrachadh càraideach ann, ⊙ agus ⊕ can, agus ma tha e fìor gu bheil:

∀ (x, y, z) ∈ A³, x ⊙ ( y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z)

Canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh ⊙ sgaoileach air an obrachadh ⊕.

Structairean ailseabrach

Magma

'S e magma an t-ainm air seata le obrachadh càraideach an lùib. Tha e cumanta seo a sgrìobhadh (A,*) far a bheil A an seata agus * na obrachadh càraideach. 'S e an structair as bunaitich ann an ailseabra a th' ann am magma far nach eil riaghailt no feart air a chur às leth an obrachaidh chàraidich aige. Ri linn seo, chan eil mòran ùidh air magma mar thà.

Leth-ghrùpa agus cuasai-ghrùpa

Ma tha obrachadh càraideach a' mhagma co-thiomsach, 's e leth-ghrùpa a th' ann. Mur eil e co-thiomsach ach so-roinnte, 's e quasi-ghrùpa a th' ann.

Mònad agus lùb

Ma tha eileamaid ionnanachd aig leth-ghrùpa (.i. magma co-thiomsach le eileamaid ionnanachd), canaidh sinn mònad ris; ma tha eileamaid ionnanachd aig quasi-ghrùpa, canaidh sinn lùb ris.

Grùpa

Far a bheil eileamaid iom-thionndaidh aig gach eileamaid mònaid, 's e grùpa a th' ann. Agus 's e grùpa a th' ann cuideachd ma tha lùb co-thiomsach.

Ma tha obrachadh càraideach a' ghrùpa co-iomlaideach, canaidh sinn gur e grùpa aibèalach a th' ann.

Fàinne

'S e fàinne a th' ann an structair le dà obrachadh càraideach: a' chiad fhear na ghrùpa aibèalach 's an dara fear na mhonaid agus e sgaoileach air a' chiad fhear. Thathar a' smaoineachadh air dà obrachadh chàraideach mar gur e cur-ris agus iomadachadh a bhiodh ann. Tha e cumanta "cur-ris" a ràdh ri obrachadh a' ghrùpa aibèalaich agus "iomadachadh" ri obrachadh na monaid, ged sa chuis choitchinn nach biodh riaghailtean cur-ris no iomadachaidh nan àireamhan iomchaidh. Mas e fàinne (F, ⊕, ⊙):

∀ (x, y, z) ∈ F³, (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)		∀ (x, y, z) ∈ F³, (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z)
∀ x ∈ F, ∃ e ∈ F : e ⊕ x = x ⊕ e = x		∀ x ∈ F, ∃ f ∈ F : f ⊙ x = x ⊙ f = x
∀ x ∈ F, ∃ y ∈ F : x ⊕ y = e		∀ (x, y, z) ∈ F³, x ⊙ ( y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z)
∀ (x, y) ∈ F², x ⊕ y = y ⊕ x

Ma tha an t-obrachadh ⊙ co-iomlaideach cuideachd (.i. ∀ (x, y) ∈ F², x ⊙ y = y ⊙ x), 's e fàinne cho-iomlaideach a chanar rithe.

Raon

Mas i fàinne cho-iomlaideach a th’ innte ach 's e grùpa a th' ann an dara obrachadh càraideach cuideachd, 's e raon a th' againn rithe. Mas e raon (R, ⊕, ⊙):

∀ (x, y, z) ∈ R³, (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)		∀ (x, y, z) ∈ R³, (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z)
∀ x ∈ R, ∃ e ∈ R : e ⊕ x = x ⊕ e = x		∀ x ∈ R, ∃ f ∈ R : f ⊙ x = x ⊙ f = x
∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R : x ⊕ y = e		∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R : x ⊙ y = f
∀ (x, y) ∈ R², x ⊕ y = y ⊕ x		∀ (x, y) ∈ R², x ⊙ y = y ⊙ x
		∀ (x, y, z) ∈ R³, x ⊙ ( y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z)