La incorporación de Laurent Schwartz al Consejo de Apoyo de la revista Iniciativa Socialista y la publicación de su autobiografía Un mathématicien aux prises avec le siècle (Ed. Odile Jacob, París, 1997, 528 páginas) me ha dado una excelente ocasión para escribir esta nota que, antes que reseña de ese bello libro, quiere ser homenaje a su autor y muestra de reconocimiento hacia un hombre excepcional con cuya obra he tenido la fortuna de toparme en diversos momentos de mi vida.
Laurent Schwartz, nacido en 1915, es uno de los matemáticos más grandes e influyentes del siglo XX, medalla Fields (equivalente a un Premio Nobel de Matemáticas) en 1950 por su Teoría de las distribuciones y miembro del colectivo matemático Bourbaki hasta que alcanzó la edad límite establecida en las normas de tan peculiar grupo, al que, por cierto, este libro hace justicia colocando sus actividades en el terreno que le era propio y descargándole de las culpas que se le suelen achacar por los excesos producidos en la introducción de las «matemáticas modernas» en la enseñanza elemental y secundaria.
Schwartz decía sobre otro gran matemático francés que «El genio matemático de Jacques Hadamard iba acompañado por una gran serenidad y una inmensa firmeza moral» (Pour la Science, nº233, marzo 1997). Esas palabras también son válidas aplicadas a él… aunque el amor de Hadamard por los helechos y los champiñones sea en Schwartz amor por las mariposas, de las que posee una colección de gran importancia.
Si alguien cree que la autobiografía de un matemático debe ser algo aburrido e incomprensible, la lectura de Un mathématicien aux prises... le sacará de su error, pues estamos ante un libro apasionado, ameno, muchas veces divertido y escrito con un ingenio que denota el reconocimiento entusiasta de la vida, aunque ésta no haya estado, ni mucho menos, exenta de amenazas y de alguna tragedia personal extremadamente dolorosa. Solamente las 45 páginas del Capítulo VI y algunas otras referencias ocasionales alcanzan un nivel de especialización que requiere conocimientos matemáticos para seguirlas, e incluso en esos lugares se intercalan reflexiones sobre la investigación científica de interés general. Un valor añadido del libro es lo que nos hace saber sobre otros personajes excepcionales (caso de Alexandre Grothendieck, del que quizá podamos hablar en otra ocasión).
La vida de Laurent Schwartz causa envidia -por ser una vida plena- y asombro, ya que no podemos dejar de preguntarnos «¿es posible qué una persona pueda hacer tantas cosas y hacerlas tan bien?». Pues este matemático coleccionista de mariposas es un políglota (por ejemplo, habla y escribe castellano) al que en su juventud diagnosticaron un gran futuro como latinista o helenista; un activista integrado en el movimiento trotskysta entre 1936 y 1947, más tarde miembro del PSU y comprometido siempre con la defensa de los derechos humanos y de los pueblos frente a imperialismos y totalitarismos, un pedagogo implicado en la enseñanza -ha enseñado la teoría de las distribuciones a más de 10.000 alumnos- y en su reforma, destacando su actividad en la Escuela Politécnica y en la Comisión Nacional de Evaluación de la Enseñanza Superior (1985-1989)…
La teoría de las distribuciones
No es éste lugar para una exposición rigurosa de las distribuciones (Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris). Me limitaré a dar algunas pistas sobre su importancia histórica para las matemáticas y la física, tanto en el momento de su descubrimiento como en la actualidad.
Las distribuciones generalizan el concepto de función. Si éstas asignan a cada punto del espacio sobre el que están definidas un número (real o complejo), las distribuciones actúan sobre un espacio de funciones (con ciertas condiciones de regularidad o «suavidad») asignando a cada una de ellas un número. Digamos que lo que define a una distribución es su manera de (inter)actuar sobre las funciones. Además, las funciones (de cierto tipo) pueden identificarse con distribuciones, de forma que cada una de estas funciones sería una distribución, aunque muchas distribuciones no son funciones. Aunque generalizar un concepto no siempre tiene interés -salvo para elaborar tesis doctorales en serie-, en este caso se trata de un paso decisivo, tanto para las matemáticas como para la física.
Los físicos venían utilizando en determinados ámbitos -mecánica cuántica especialmente- ciertas «funciones» que funcionaban muy bien y daban buenos resultados, muy útiles también en teoría de la probabilidad y otras ramas de la matemática y de la física. Pero esas «funciones» tenían un pequeño problema: no existían, pues su definición y «comportamiento» era incompatible con las propiedades de las funciones (ver Anexo 1 para una explicación algo más amplia, aunque poco rigurosa, pero que requiere el uso de conceptos como el de derivada o integral; la no lectura de ese Anexo no afecta al resto del artículo).
Laurent Schwartz resuelve ese problema. Esas «funciones» malditas no eran funciones, sino un nuevo tipo de objeto matemático, las distribuciones. Schwartz define todo un cálculo entre distribuciones que, cuando se aplica a distribuciones que son también funciones, equivale al cálculo tradicional entre funciones. A partir de ese momento, todo se tornó riguroso.
Pero la aportación fundamental de Schwartz no es poder hacer cosas que ya se hacían antes, pero ahora con la «conciencia» tranquila de no estar rompiendo el rigor. Las distribuciones abren un mundo nuevo, en el que aparecen nuevas soluciones de las ecuaciones o en el que funciones sin derivada se convierten en distribuciones infinitamente derivables, con un transfondo en el que, a mi entender, está más implicada «la probabilidad» y la interacción que la trayectoria de un movimiento, lo que ligaría directamente con la vanguardia de la ciencia actual, como puede comprobarse leyendo El fin de las certidumbres (Taurus, Madrid, 1997), de Ilya Prigogine, recientemente publicado en España. La lectura de este último libro y algunas de sus ideas fundamentales -preponderancia de la probabilidad sobre la trayectoria, necesidad de ir más allá del «espacio de Hilbert»- me recordaron la obra de Schwartz y me hicieron volver a echarla un vistazo, casualmente apenas una semana antes de que conociera su autobiografía. Poco después, conocí un texto de Ilya Prigogine, El desorden creador, que tenemos el honor de publicar en este mismo número de Iniciativa Socialista, en el que esa relación es explicitada: «Afortunadamente, matemáticos franceses -ante todo, Laurent Schwartz- han descrito una nueva matemática, que permite aprehender los fenómenos de caos y describirles en el ámbito estadístico». No hay duda alguna de la gran actualidad que tiene el trabajo matemático de Laurent Schwartz, más amplio, por otra parte, que el abarcado por las distribuciones, tras las que pasó a centrarse en el ámbito de la teoría de la probabilidad, procesos de Markov, etc., lo que no es, ni mucho menos, casual.
Un trotskysta judío bajo el régimen de Vichy
Quizá una de las partes más entrañables y amenas del libro es aquella en la que nos describe sus andanzas durante el período de la II Guerra Mundial, sus idas y venidas bajo dos personalidades -una de ellas, Laurent-Marie Sélimartin, nombre elegido porque facilitaba la falsificación de la firma-, y la peculiar situación en la que se encontraba un hombre que continuaba, como podía, realizando intensamente su actividad matemática mientras corría los riesgos propios de su doble condición de trotskysta y judío. Todo ello, por cierto, sin la menor intención de atribuirse un «pasado heroico»; todo lo contrario, pues presenta con total naturalidad las dificultades que él y Marie-Hélène (otro personaje extraordinario que nos descubre este libro) pasaron en una época no exenta, pese a todo, de felicidad. Describe muy de pasada sus actividades clandestinas, a las que, a pesar de lo arriesgado de ellas, considera ineficaces y, con rara lucidez y honestidad, juzga muy severamente.
Con un pensamiento riguroso, Schwartz no podía admitir la farsa de procesos de Moscú, y fue parte del movimiento trotskysta entre 1936 y 1947, siendo candidato por su partido en Grenoble en las elecciones de 1945 y 1946. Sus reflexiones críticas sobre esa experiencia son también particularmente interesantes, al menos para quienes la hemos compartido en otro tiempo y lugar.
Schwartz señala el alto grado de irrealismo al que se llegaba en el camino de tratar de construir «el partido de la revolución mundial» a partir de pequeños grupos aislados del movimiento social. Particularmente emotivos y precisos resultan los párrafos dedicados al Partido Obrero de Unificación Marxista, resaltando la persecución estalinista, el asesinato de Nin y lo erróneo de la crítica trotskysta al POUM.
Me llamó mucho la atención también la actitud que mantiene ante su pasado trotskysta, quizá por expresar con gran claridad algo que, de alguna forma mucho más difusa, coincide con un sentimiento que yo mismo tengo desde hace varios años y que creo comparten otros amigos y amigas con quienes he conversado sobre esto. Schwartz hace un balance muy crítico, no sólo de la práctica, sino también de muchas de las bases teóricas del trotskysmo y del propio marxismo. Pero la relación con su pasado trotskysta no es meramente negativa: He consagrado una gran parte de mi vida a la política, adoptando la «carrera» de intelectual comprometido. Pero las matemáticas han seguido siendo primordiales. Siempre he querido «cambiar el mundo», cambiar la vida. He seguido siendo un reformador al que inquieta toda estructura defectuosa y esclerotizada. He roto con el trotskysmo en 1947, tras 11 años. Pero lo esencial de mi formación política deriva de este período trotskysta, con sus luces y sus sombras. A Pierre Vidal-Naquet le gusta decir que yo he continuado siendo un «ancien trotskiste». Lo seré forzosamente durante toda mi vida, y no lo lamento. Más adelante, escribe: De esta formación política, de los años de reflexión sobre los diferentes aspectos teóricos del trotskysmo, del marxismo-leninismo, de la revolución, he conservado una forma de razonamiento y de análisis político particular, cuyo rigor está emparentado con el de las matemáticas. Mucha gente me consideran todavía como un trotskysta, lo que no es cierto en absoluto. Pero no reniego de mi pasado y conservo relaciones amistosas con numerosos trotskystas.
Un compromiso de por vida
Laurent Schwartz no ha dejado nunca de ser un combatiente. Aunque tras su abandono del trotskysmo sería miembro de la Nouvelle gauche, de la UGS y del PSU, cuyo Congreso de Fundación en 1960 presidió, su implicación orgánica en tal o cual partido estuvo ya siempre marcada por esa distancia propia de quien se toma algo en serio. Su compromiso profundo es con los derechos humanos y de los pueblos, y por ellos ha trabajo sin descanso, hasta ahora mismo (recordemos, por ejemplo, su reciente papel en el Colegio de Mediadores de las inmigrantes encerrados en la iglesia de Saint Bernard). También es destacada su actividad como pedagogo, animador de la investigación científica y promotor de reformas educativas, aunque este último tema se encuentra poco desarrollado en el libro, de lo que avisa el autor señalando haberlo hecho de forma intencionada por existir publicaciones recientes al respecto. No querría pasar por alto, sin embargo, que el esfuerzo dedicado a la reforma de la Escuela Politécnica, al que sí dedica un espacio importante en su autobiografía, da muestras claras de su compromiso social y de la seriedad de sus principios.
Del trotskysmo, dice él mismo, le ha quedado, ante todo, el internacionalismo y el anticolonialismo. El relato de sus actividades en este terreno es apasionante. Combatiente en solidaridad con Argelia frente al colonialismo francés, con emotivas experiencias como la lectura, examen y aprobación de la tesis doctoral del joven matemático argelino Maurice Audin… en ausencia, por haber sido antes asesinado en una sesión de tortura; está implicación le costó el secuestro de su hijo Marc-André y una ignominiosa campaña de descrédito contra éste que influyo decisivamente en un desenlace trágico que posiblemente constituya la circunstancia más dolorosa de la vida de Laurent Schwartz. Activista contra la guerra de Vietnam, miembro del Tribunal Russell que juzgó los Crímenes de Guerra en Vietnam, país con el que ha mantenido desde entonces una estrecha y solidaria relación, a pesar de las consideraciones críticas que, obviamente, le merece su régimen político. Integrante del pequeño grupo de personas que denunciaron en su momento la infamia polpotiana en Camboya. Miembro del comité por la liberación de Bangladesh. Promotor de importantes actividades contra la intervención soviética en Afganistán…
El libro se cierra con un capítulo dedicado a una experiencia ejemplar y aleccionadora: el Comité de matemáticos. Una buena forma de terminar, por ahora, el relato de la vida de un hombre que es un gran matemático y un comprometido defensor de los derechos humanos. El Comité de matemáticos, con Schwartz y Michel Broué -hijo de nuestro querido amigo Pierre Broué- como animadores principales, ha desarrollado una incesante labor en defensa de los matemáticos perseguidos en cualquier lugar del mundo y bajo cualquier sistema político. Sus campañas por matemáticos chilenos, rusos, checos, uruguayos, marroquíes, etc., alcanzaron una gran repercusión y obtuvieron resultados concretos importantes.
A Laurent Schwartz le debemos algunos el placer de haber conocido su bellísimo trabajo científico. Muchos, le deben la libertad y la vida, pues los esfuerzos realizados por este amante de las mariposas lograron muchas veces sus objetivos, o al menos parte de ellos. Y todas las personas que queremos cambiar la vida le debemos la demostración de que es posible hacerlo, sin rendirse a lo existente y sin sustituirlo por un mundo de sueños que derivan frecuentemente en pesadillas.
Gracias por su libro, gracias por su obra, gracias por su vida
ANEXO 1
En física cuántica se venían utilizando algunas «funciones» que, sin embargo, no eran verdaderas funciones. También se usaban «sus derivadas» sucesivas. Los cálculos realizados con ellas «funcionaban» bien, pero no eran rigurosos. La más famosa de esas «funciones» impropias es la función Delta de Dirac, de extraordinaria utilidad en mecánica cuántica, teoría del potencial, teoría de probabilidades, etc.
Dirac, en Les principes de la Mécanique Quantique (Ed. Gabay, Sceaux, París) describe la función Delta como una función tal que Delta(x)=0 para cualquier x diferente de cero, con la peculiaridad de que su integral sobre todo el espacio es igual a 1. Tal función no existe, ya que una función nula en todos los puntos menos en uno tiene integral cero. Traducido en términos más intuitivos, esa definición de la «función» Delta equivaldría a pensar en un «rectángulo» de base cero pero con altura infinita (o sea, una semirrecta), pero «tan, tan infinita» que el área de ese «rectángulo» sería igual a 1, lo que no es posible.
Dirac es consciente de esto, y justifica su uso diciendo que «Toda ecuación que incluye a la función Delta puede escribirse de otra manera equivalente, aunque en general menos cómoda, en la que la función Delta desaparece completamente. Por tanto, la función Delta constituye, más bien, una notación cómoda». Señala también el problema implicado en el uso de ciertas derivaciones e integraciones no rigurosamente definidas.
Otros evitaban el uso de tales funciones «impropias». Por ejemplo, von Neumann escribía en 1927 que «El método de Dirac(…) no cumple en modo alguno con las exigencias del rigor matemático, ni aun cuando, por ser justos, se reducen éstas a la medida habitual de la física teórica». Tampoco faltan -incluso mucho después de que Schwartz sentará una base rigurosa para el uso de las distribuciones- quienes han usado la «función» Delta sin realizar ningún comentario, o la «definen» como el límite de una sucesión de funciones, lo que es una buena idea intuitiva -utilizada luego por algunos autores para definir las distribuciones como clases de equivalencia en un espacio de funciones, aunque esa no es la vía seguida por Schwartz ni, a mi entender, la mejor- pero que sólo se torna rigurosa en el marco de las distribuciones, pues aquello que no existe no puede ser límite de nada.
Laurent Schwartz introduce una ruptura conceptual: la «función» Delta sería un nuevo tipo de objeto, una distribución, es decir, un funcional que asigna a cada función (de determinado tipo) un número real o complejo, con ciertas condiciones de continuidad. En particular, Delta es la distribución que a una función cualquiera le asigna el valor de esa función en cero. O sea, Delta(f) = f(0), lo que equivale a la fórmula que, en el lenguaje de la «función» de Dirac, dice que la integral definida (sobre cualquier conjunto que contenga a cero) del producto de Delta y una función f cualquiera da como resultado, precisamente, f(0).
Quizá pueda entenderse esto mejor con algunas analogías con la Teoría de la probabilidad. La forma en la que Schwartz identifica cada función con una distribución es muy similar a la forma en la que, dado un fenómeno aleatorio del que se conoce su «función de densidad» f(X), se puede calcular el valor medio de una función g(X) de la variable aleatoria asociada con ese fenómeno probabilista, integrando, sobre todo el espacio, el producto de la función de densidad f y de la función g cuya media queremos calcular (las funciones de densidad, mediante integración, permiten determinar para «cualquier» conjunto de valores la probabilidad de que la variable tome un valor perteneciente a ese conjunto). Así que lo que Schwartz hace es identificar una función f con la Distribución que a cada función g le asigna la integral definida del producto de f y g.
La «función» Delta, tal y como la definía Dirac, comparte con las funciones de densidad de una variable aleatoria la propiedad de ser siempre no negativa y el que su integral definida sobre todo el espacio es igual a 1; en cierta forma, Delta representaría la «función» de densidad impropia de un fenómeno aleatorio discreto definido por una variable X en la que el valor cero ocurre con probabilidad 1 -«siempre»-, mientras que todos los demás valores tienen probabilidad cero («nunca»). Dada una función h(X), dependiente de esa variable X que tiene la masa concentrada en un sólo punto, Delta -en tanto que distribución- hace corresponder a h su valor medio respecto al fenómeno aleatorio descrito. Pero como la variable X «siempre» toma el valor 0, h(X) «siempre» vale h(0), y, por tanto, su media también es h(0). La «función» de densidad Delta no existe, pues su definición es contradictoria, pero sí existe la distribución Delta, perfectamente definida, que se comporta «igual» que se comportaría una función con las características que se le atribuían a la «función» Delta.
Una propiedad muy importante de las distribuciones es que todas ellas son derivables -siendo su derivada una nueva distribución- y todas tienen «primitivas» (una primitiva de una función f es otra función tal que su derivada es igual a f). Por ejemplo, dada la función escalón-unidad de Heaviside, definida como H(x) = 0 para x negativo y H(x) = 1 para para x mayor o igual a cero, resulta que, considerada como distribución, su derivada es, precisamente, la función Delta, mientras que dentro del cálculo de funciones lo único que podría decirse es que la derivada de H es cero en todos los puntos distintos de cero, y no tiene derivada en x=0. En el lenguaje de la estadística, una variable aleatoria como la descrita, con toda la masa concentrada en 0, tiene a la distribución Delta como «función» de densidad y a la función de Heaviside como «función de distribución» (la función de distribución de una variable aleatoria asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a él).
Esta analogía no puede trazarse para todas las distribuciones, pues muchas de ellas no pueden relacionarse con ningún tipo de variable aleatoria, pero creo que hay un lazo profundo entre las Distribuciones y la Teoría de la Medida y de la Probabilidad
Edición digital de la Fundación Andreu Nin, diciembre 2001