La fonction q -gamma est une fonction mathématique qui est une généralisation q-analogue de la fonction gamma ordinaire[ 1]
Elle est définie par :
Γ
q
(
x
)
=
(
1
−
q
)
1
−
x
∏
n
=
0
∞
1
−
q
n
+
1
1
−
q
n
+
x
=
(
1
−
q
)
1
−
x
(
q
;
q
)
∞
(
q
x
;
q
)
∞
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
Γ
q
(
x
)
=
(
q
−
1
;
q
−
1
)
∞
(
q
−
x
;
q
−
1
)
∞
(
q
−
1
)
1
−
x
q
(
x
2
)
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}
|
q
|
>
1
{\displaystyle |q|>1}
Ici
(
⋅
;
⋅
)
∞
{\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{\infty }}
q -symbole de Pochhammerq -gamma est solution de l'équation fonctionnelle suivante :
Γ
q
(
x
+
1
)
=
1
−
q
x
1
−
q
Γ
q
(
x
)
=
[
x
]
q
Γ
q
(
x
)
{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}
q -gamma vérifie le q -analogue du théorème de Bohr-Mollerup [ 2] n positif ou nul,
Γ
q
(
n
)
=
[
n
−
1
]
q
!
{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}
[
⋅
]
q
{\displaystyle [\cdot ]_{q}}
q -factorielleq -gamma peut être considérée comme prolongeant la q -factorielle aux nombres réels , de la même manière que la fonction gamma prolonge la factorielle . La fonction gamma apparaît également comme la limite[ 3]
lim
q
→
1
±
Γ
q
(
x
)
=
Γ
(
x
)
{\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x)}
La fonction q- gamma vérifie la q -analogue de la formule de multiplication de Gauss [ 4]
Γ
q
(
n
x
)
Γ
r
(
1
/
n
)
Γ
r
(
2
/
n
)
⋯
Γ
r
(
(
n
−
1
)
/
n
)
=
(
1
−
q
n
1
−
q
)
n
x
−
1
Γ
r
(
x
)
Γ
r
(
x
+
1
/
n
)
⋯
Γ
r
(
x
+
(
n
−
1
)
/
n
)
,
r
=
q
n
.
{\displaystyle \Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n)=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+1/n)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.}
La fonction q -gamma peut s'écrire sous forme intégrale [ 5]
1
Γ
q
(
z
)
=
sin
(
π
z
)
π
∫
0
∞
t
−
z
d
t
(
−
t
(
1
−
q
)
;
q
)
∞
.
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma _{q}(z)}}={\frac {\sin(\pi z)}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-z}\mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{\infty }}}.}
On a aussi un q -analoque de la formule de Stirling [ 6]
log
Γ
q
(
x
)
∼
x
→
∞
(
x
−
1
2
)
log
[
x
]
q
+
L
i
2
(
1
−
q
x
)
log
q
+
C
q
^
+
1
2
H
(
q
−
1
)
log
q
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
(
log
q
^
q
^
x
−
1
)
2
k
−
1
q
^
x
p
2
k
−
3
(
q
^
x
)
{\displaystyle \log \Gamma _{q}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}(x-{\frac {1}{2}})\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x})}
q
^
=
{
q
s
i
0
<
q
≤
1
1
/
q
s
i
q
≥
1
}
,
{\displaystyle {\hat {q}}=\left\{{\begin{aligned}q\quad \mathrm {si} \ &0<q\leq 1\\1/q\quad \mathrm {si} \ &q\geq 1\end{aligned}}\right\},}
C
q
=
1
2
log
(
2
π
)
+
1
2
log
(
q
−
1
log
q
)
−
1
24
log
q
+
log
∑
m
=
−
∞
∞
(
r
m
(
6
m
+
1
)
−
r
(
3
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
)
,
{\displaystyle C_{q}={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {q-1}{\log q}}\right)-{\frac {1}{24}}\log q+\log \sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}\right),}
r
=
exp
(
4
π
2
/
log
q
)
{\displaystyle r=\exp(4\pi ^{2}/\log q)}
H
{\displaystyle H}
fonction échelon d'Heaviside ,
B
k
{\displaystyle B_{k}}
nombre de Bernoulli ,
L
i
2
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}
dilogarithme , et
p
k
{\displaystyle p_{k}}
k
{\displaystyle k}
p
k
(
z
)
=
z
(
1
−
z
)
p
k
−
1
′
(
z
)
+
(
k
z
+
1
)
p
k
−
1
(
z
)
,
p
0
=
p
−
1
=
1
,
k
=
1
,
2
,
⋯
.
{\displaystyle p_{k}(z)=z(1-z)p'_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_{-1}=1,k=1,2,\cdots .}
On a également les q -analogues de la formule de Raabe , pour les valeurs de
|
q
|
>
1
{\displaystyle |q|>1}
∫
0
1
log
Γ
q
(
x
)
d
x
=
ζ
(
2
)
log
q
+
log
q
−
1
q
6
+
log
(
q
−
1
;
q
−
1
)
∞
(
q
>
1
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
∫
0
1
log
Γ
q
(
x
)
d
x
=
1
2
log
(
1
−
q
)
−
ζ
(
2
)
log
q
+
log
(
q
;
q
)
∞
(
0
<
q
<
1
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).}
On connaît les valeurs suivantes de la fonction q -gamma[ 7]
Γ
e
−
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
16
e
π
−
1
1
+
2
4
2
15
/
16
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
,
Γ
e
−
2
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
8
e
2
π
−
1
2
9
/
8
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
,
Γ
e
−
4
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
4
e
4
π
−
1
2
7
/
4
π
3
/
4
Γ
(
1
4
)
,
Γ
e
−
8
π
(
1
2
)
=
e
−
7
π
/
2
e
8
π
−
1
2
9
/
4
π
3
/
4
1
+
2
Γ
(
1
4
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /16}{\sqrt {\mathrm {e} ^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /8}{\sqrt {\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /4}{\sqrt {\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /2}{\sqrt {\mathrm {e} ^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).\end{aligned}}}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
De même, on a les analogues suivants de l'identité
Γ
(
1
4
)
Γ
(
3
4
)
=
2
π
{\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }
Γ
e
−
2
π
(
1
4
)
Γ
e
−
2
π
(
3
4
)
=
e
−
29
π
/
16
(
e
2
π
−
1
)
1
+
2
4
2
33
/
16
π
3
/
2
Γ
(
1
4
)
2
,
Γ
e
−
4
π
(
1
4
)
Γ
e
−
4
π
(
3
4
)
=
e
−
29
π
/
8
(
e
4
π
−
1
)
2
23
/
8
π
3
/
2
Γ
(
1
4
)
2
,
Γ
e
−
8
π
(
1
4
)
Γ
e
−
8
π
(
3
4
)
=
e
−
29
π
/
4
(
e
8
π
−
1
)
16
π
3
/
2
1
+
2
Γ
(
1
4
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /16}\left(\mathrm {e} ^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /8}\left(\mathrm {e} ^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /4}\left(\mathrm {e} ^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.\end{aligned}}}
Soit A une matrice carrée complexe définie positive . On peut définir une fonction q -gamma matricielle par q -intégrale [ 8]
Γ
q
(
A
)
:=
∫
0
1
1
−
q
t
A
−
I
E
q
(
−
q
t
)
d
q
t
{\displaystyle \Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t}
E
q
{\displaystyle E_{q}}
q -exponentielle
↑ (en) « The basic gamma-function and the elliptic functions », Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character vol. 76, no 508, 24 mai 1905 , p. 127–144 (ISSN 0950-1207 2053-9150 DOI 10.1098/rspa.1905.0011 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) Richard Askey , « The q -Gamma and q -Beta Functions† », Applicable Analysis vol. 8, no 2, décembre 1978 , p. 125–141 (ISSN 0003-6811 1563-504X DOI 10.1080/00036817808839221 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) George E. Andrews , Q-series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra , American Mathematical Soc., 1er janvier 1986(ISBN 978-0-8218-8911-4 lire en ligne ) , Annexes↑ George Gasper et Mizan Rahman , Basic hypergeometric series , Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of mathematics and its applications », 2004 (ISBN 978-0-521-83357-8 ↑ (en) Mourad E. H. Ismail , « The Basic Bessel Functions and Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis vol. 12, no 3, mai 1981 , p. 454–468 (ISSN 0036-1410 1095-7154 DOI 10.1137/0512038 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) Daniel S. Moak , « The Q-analogue of Stirling's formula », Rocky Mountain Journal of Mathematics vol. 14, no 2, 1er juin 1984(ISSN 0035-7596 DOI 10.1216/RMJ-1984-14-2-403 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) István Mező, « Several special values of Jacobi theta functions 2011 .↑ Salem, « On a q -gamma and a q -beta matrix functions », Linear and Multilinear Algebra , vol. 60, no 6, juin 2012 , p. 683–696 (DOI 10.1080/03081087.2011.627562 S2CID 123011613 
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1369d42adac73e85d50ce69ed4e83fe4d9432ce7)
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be916fb8ef9c2bb7a93ee692b3719d096150dbe)
![{\displaystyle [\cdot ]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46774647e16db9db5cc5a224d1b2e41c74299a7)
![{\displaystyle \log \Gamma _{q}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}(x-{\frac {1}{2}})\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a5c52d6a8f0860f6116eba65b8934a7a1d2ccb)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dd5281744cfa39cf8031d498765542f51ae6b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /16}{\sqrt {\mathrm {e} ^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /8}{\sqrt {\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /4}{\sqrt {\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /2}{\sqrt {\mathrm {e} ^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42334bf4cc2533c0d200b68ecabd7bd358993c9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /16}\left(\mathrm {e} ^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /8}\left(\mathrm {e} ^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /4}\left(\mathrm {e} ^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831bcb01055cbb7c929e1b63d1c8d36dfa5b457d)
