Augustus De Morgan

Augustus de Morgan
Augustus De Morgan
Sünniaeg	27. juuni 1806 Madura, India
Surmaaeg	18. märts 1871 London, Inglismaa
Rahvus	inglane

Augustus De Morgan (27. juuni 1806 Madura, India – 18. märts 1871 London, Inglismaa) oli inglise matemaatik ja loogik, kelle töö on loogikaõpetuse jaoks väga oluline olnud. Ta formuleeris De Morgani seadused ja panustas oluliselt tänapäevase matemaatilise loogika arengusse.

Lapsepõlv

Augustus de Morgan sündis 1806. aastal Maduras. Tema isa oli kolonelleitnant John de Morgan (1772–1816), kes töötas Briti Ida-India Kompanii heaks. Augustus de Morgani ema oli Elizabeth Dodson (1776–1856), kelle isa James oli matemaatik. Peatselt pärast sündi jäi Augustus ühest silmast pimedaks ning tema pere kolis 1806. aasta lõpus Inglismaale. Nii nagu Augustus ise, olid ka tema isa ja isapoolne vanaisa sündinud Indias, sestap ei pidanud de Morgan end kunagi inglaseks, šotlaseks ega iirlaseks, vaid britiks.

De Morgani isa suri siis, kui poeg oli kümneaastane. Tema ema elas mitmes paigas Edela-Inglismaal, kus Augustus de Morgan ka oma alghariduse sai. De Morgani matemaatikaannet märgati siis, kui ta oli neljateistaastane ja perekonnasõber nägi keerukat joonist, mille Augustus oli joonlaua ja sirkliga teinud.

Keskhariduse sai de Morgan Oxfordi Ülikoolis töötanud hr. Parsonsi käest. De Morgani ema soovis, et pojast saaks kirikuõpetaja, kuid de Morgan oli nonkonformist, kellest lõpuks sai ateist.

Haridustee

De Morgan sai oma hariduse Cambridge'i Ülikooli Trinity College'is. Cambridge’i astus ta kuueteistaastaselt 1823. aasta veebruaris ja sealsamas lõpetas ta ülikooli 1827. aastal. Aastal 1828 sai temast matemaatikaprofessor äsja asutatud sekulaarses University College Londonis, kus ta õpetas aastani 1866.

Ülikoolis õppimise ajal mängis de Morgan flööti, olles muusika alal aktiivne. Muusikaõpe kannatas aga tema soovi tõttu võita matemaatiline võidujooks, see motiveeris teda omandama magistrikraadi, mille saamiseks tuli läbida anglikaani kiriku teemaline test. Selline test oli aga tema heakspidamistega sügavas vastuolus. Umbes aastal 1875 kaotati Oxfordis ja Cambridge'is akadeemiliste kraadide omandamiseks vajalikud olnud teoloogilised testid ära.

Töö University College Londonis

Üks tema varasemaid töid „Elements of Arithmetic“ (1830) paistis silma selle poolest, et see lähenes arvu ja magnituudi ideedele lihtsast, kuid põhjalikust filosoofilisest vaatenurgast. Aastal 1838 defineeris ta mõiste „matemaatiline induktsioon“, mida ta kasutas selleks, et kirjeldada protsessi, mida seni oli matemaatilistes tõestustes kasutatud ilma seda tegelikult selgitamata.

De Morgan oli üks neist Cambridge’i matemaatikutest, kes mõistis algebra puhtsümboolset olemust, saades aru, et on võimalus selliste algebrate jaoks, mis tavapärasest algebrast erinevad. Oma raamatus „Trigonometry and Double Algebra“ (1849) andis ta geomeetrilise selgituse kompleksarvude olemusele, viidates kvaternioonide ideele. Matemaatilisse sümbolismi panustas De Morgan seeläbi, et pakkus välja kaldkriipsu kasutamise murdude kirjapanekuks trükkimisel.

Lisaks teosele "Trigonometry and Double Algebra" kirjutas de Morgan 1847. aastal raamatu "Formal Logic". Selles arendas ta märkimisväärselt edasi süllogismi arvulist defineerimist. Tänu sellele oli võimalik kinnitada kõigi Aristotelese loogika põhiseaduste õigsust.

Teoses "Budget of Paradoxes" selgitab de Morgan seda, mida ta peab paradoksist rääkides silmas. Üldjoontes on tegemist ülevaatega kõigist paradoksidest kõnelevatest raamatutest, mille de Morgan oli oma eraraamatukogusse kogunud. Raamatus arutleb ta Eukleidese reductio ad absurdumist lähtudes, et kui $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$, siis peavad kõik muud $\pi$ väärtused olema absurdsed ja seega oleks tema määratud väärtus õige.

De Morgani teos "Relations" räägib teoses "Syllabus of a Proposed System of Logic" tuvastatud suhtealgebrast, mis avastati 1860. aastal. Seda liiki algebrat arendas edasi Charles Sanders Peirce, kes de Morganiga vaid natuke aega enne de Morgani enda surma kohtus.

De Morgani seadused

De Morgani nime kandvad seadused on paar duaalselt seotud teoreeme, mis muudavad võimalikuks avaldiste ja valemite transformeerimise alternatiivsetele ja tihti mugavamatele kujudele. Juba 14. sajandil tundis neid seaduseid suuliselt William Ockham, kuid De Morgan uuris seaduseid põhjalikult ja väljendas need matemaatilisel kujul. De Morgani seadused on Boole'i algebras ja lausearvutuses kasutusel olevad kaks põhisamaväärsust.

Formaalselt saab De Morgani seadused kirja panna nii, võttes muutujateks X ja Y.

$\neg (X\land Y)\iff (\neg X)\lor (\neg Y)$

$\neg (X\lor Y)\iff (\neg X)\land (\neg Y)$

kus:

• ¬ tähistab eitust
• $\land$ tähistab konjunktsiooni
• $\lor$ tähistab disjunktsiooni
• ⇔ tähistab samaväärsust

Loogika reformimine

De Morgan oli väga hea kirjutaja. Kuna De Morgan uskus, et aristotelliku loogika kasutusvõimalused on liiga piiratud, oli tema suurim panus seotud loogika reformimisega. 19. sajandi esimeses pooles alanud loogikaõpetuse renessanss algas peaaegu ainult De Morgani ja teise briti matemaatiku, George Boole'i kirjutiste tõttu. De Morgani seadustest on alternatiivseid kujusid ja üldistusi mitmes matemaatika harus.

De Morgani suurim panus loogika edasiarendamisesse on seotud aristotelliku loogika edasiarendamisega matemaatika vahendeid kasutades, tänu sellele lihtsustas ta loogikareeglite kasutamist aristotellikku loogikat kasutavate mõttekäikude juures, kuid ühtlasi täiendas võimalusi algebra kasutamiseks loogikareeglitest lähtudes.