Sistema de equações

Sistema de equações é um agrupamento simultâneo de equações. A solução de um sistema é um conjunto de valores para as incógnitas que satisfaçam, ao mesmo tempo, todas as equações. Assim, para resolver um sistema, é necessário trabalhar as equações em conjunto.

Leia também: Como resolver equações do 1º grau

Resumo sobre sistema de equações

• Um sistema de equações é um agrupamento de duas ou mais equações.
• Resolver um sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
• Os métodos da substituição e da adição são procedimentos para a resolução de sistemas lineares.
• Um sistema linear pode ter uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Videoaula sobre sistema de equações

O que é o sistema de equações?

A descrição matemática de um fenômeno ou situação pode envolver duas ou mais equações simultaneamente. Esse grupo de equações é chamado de sistema de equações.  

Neste texto vamos considerar sistemas lineares, cujas equações são escritas no seguinte formato:

\(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=k\)

Em que \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_n\right)\) são coeficientes, \(\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)\) são incógnitas, e k é o termo independente.

São exemplos de sistemas de equações:

• \( \begin{cases} x+y=7 \quad \\ x-y=1 & \quad \end{cases}\)→  sistema com duas equações e duas incógnitas
•  \(\begin{cases} 3x-y-z=3 \quad \\ 4x-6y+2z=9 & \quad \end{cases}\)→  sistema com duas equações e três incógnitas
• \( \begin{cases}-5w+2y+3z=4\quad \\ w-y+2z=-9 \quad \\ 2w-4y-z=7 & \quad \end{cases}\)→  sistema com três equações e três incógnitas

Como resolver o sistema de equações?

Para resolver um sistema de equações, devemos determinar quais valores para as incógnitas satisfazem, ao mesmo tempo, todas as equações. Vejamos dois métodos para a resolução de um sistema de equações. É possível utilizá-los em etapas distintas.

• Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir a expressão correspondente em outra equação, de modo a construir equações que envolvam quantidades menores de incógnitas.

Exemplo: Em uma escola, a diferença entre o número de alunos e professores é, nessa ordem, 580, e a soma é 620. Quantos alunos e quantos professores há nessa escola?

Seja x o número de alunos e y o número de professores. Assim, temos o seguinte sistema:

\( \begin{cases} x-y=580 \quad \\ x+y=620 & \quad \end{cases}\)

Vamos aplicar o método da substituição.

Primeiro, escolheremos uma das equações e isolaremos uma das incógnitas dessa equação. Escolheremos, por exemplo, a primeira equação e a incógnita x. Assim, isolando x na primeira equação, temos:

\(x=580+y\)

Agora, vamos substituir essa expressão para x na segunda equação:

\(\left(580+y\right)+y=620\)

Observe que reescrevemos a segunda equação do sistema de modo a envolver apenas a incógnita y. Consequentemente, podemos determinar o valor dessa incógnita:

\(2y=620-580\)

\(y=20\)

Sabendo o valor de y, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema original para encontrar o valor de x. Vamos escolher, por exemplo, a primeira equação:

\(x-20=580\)

\(x=600\)

Desse modo, a solução desse sistema é 600, 20, ou seja, há 600 alunos nessa escola e 20 professores.

Para conferir mais exemplos da utilização desse método, clique aqui.

• Método da adição

O método da adição consiste em adicionar duas equações de modo que a soma elimine uma das incógnitas. Em muitos casos, para aplicar esse método, é necessário multiplicar uma das equações por um valor conveniente de forma a obter termos que se cancelam.

Exemplo: Determine a solução do seguinte sistema:

\( \begin{cases} y+z=7 \quad \\ 3y+z=15 & \quad \end{cases}\)

Observe que tanto na primeira quanto na segunda equação há o termo +z. Se em uma delas houvesse, ao invés disso, o termo -z, a adição das duas equações eliminaria a incógnita z .

Para que isso ocorra, multiplicaremos a segunda equação por -1. Assim, obteremos o seguinte sistema, equivalente ao original (ou seja, possui a mesma solução):

\( \begin{cases} y+z=7 \quad \\ -3y-z=-15 & \quad \end{cases}\)

Agora vamos adicionar as duas equações:

\(\left(y+z\right)+\left(-3y-z\right)=7+\left(-15\right)\)

\(y-3y+z-z=7-15\)

Como +z-z=0 , temos:

\(-2y=-8\)

\(y=4\)

Agora substituiremos o valor de y em qualquer uma das equações. Vamos escolher, por exemplo, a primeira equação:

\(4+z=7\)

\(z=3\)

Assim, a solução do sistema é y=4  e z=3, ou seja, (4,3).

Classificações do sistema de equações

Existem três tipos de sistema de equações lineares:

• Sistema possível e determinado (SPD), quando há apenas uma solução.
• Sistema possível e indeterminado (SPI), quando há infinitas soluções.
• Sistema impossível (SI), quando não existe solução.

Até aqui, todos os exemplos trabalhados foram sistemas possíveis e determinados. Vejamos exemplos dos outros tipos de sistemas:

Exemplo SPI:

\( \begin{cases} x+2y=8 \quad \\ 2x+4y=16 & \quad \end{cases}\)

Aplicando o método da substituição, temos que, na primeira equação:

\(x=8-2y\)

Substituindo na segunda equação, temos que:

\(2\cdot\left(8-2y\right)+4y=16\)

\(16-4y+4y=16\)

\(0y=0\)

Observe que há infinitos números reais que podem ser utilizados para y e que satisfazem a expressão 0y=0 .

A conclusão desse raciocínio é que o sistema original possui infinitas soluções. Observe, por exemplo, que 2, 3, 4, 2 e 6, 1 são alguns exemplos de solução desse sistema.

Exemplo SI:

\( \begin{cases} x+y=7 \quad \\ x+y=1 & \quad \end{cases}\)

Note que, pela primeira equação, a soma entre x e y deve ser 7. No entanto, ao mesmo tempo, pela segunda equação, essa soma deve ser 1. Portanto, não há x e y reais que satisfaçam as duas equações concomitantemente, e o sistema não possui solução.

Leia também: Como resolver uma equação do 2º grau

Exercícios sobre sistema de equações

Questão 1

(Enem) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100.

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30

b) 36

C) 50

D) 60

E) 64

Resolução

Seja x o número de vezes que o participante acertou o alvo, e y  o número de vezes que errou o alvo.

Ao todo, foram 80 tiros. Portanto, x+y=80 .

Ainda, por x  acertos, o participante recebeu 20x reais e por y  erros perdeu 10y reais (o que vamos representar por -10y). Ao todo, no final do jogo, ele ficou com R$ 100.

Desse modo, o sistema que descreve esse problema é:

\( \begin{cases} x+y=80 \quad \\ 20x-10y=100 & \quad \end{cases}\)

Multiplicando a primeira equação por 10, temos o sistema equivalente:

\( \begin{cases} 10x+10y=800 \quad \\ 20x-10y=100 & \quad \end{cases}\)

Somando as duas equações, obtemos:

\(30x=900\)

\(x=30\)

Alternativa A

Questão 2

(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa.

Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

Resolução

Sejam L e C as quantidades, respectivamente, de detergentes nos aromas de limão e de coco em uma caixa. Portanto, em cada caixa, L+C=24. Ainda, como cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, tem-se L=C+2 .

Logo, o sistema que descreve esse problema é:

\( \begin{cases} L+C=24 \quad \\ L=C+2 & \quad \end{cases}\)

Note que a incógnita L já está isolada na segunda equação. Substituindo a expressão na primeira equação, temos que:

\(\left(C+2\right)+C=24\)

\(2C=22\)

\(C=11\)

Substituindo o valor de C na segunda equação, temos que:

\(L=13\)

Assim, nas 10 caixas entregues, o número de frascos entregues foi de 10⋅13=130 .

Alternativa C

Fontes:

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

JÚNIOR, J.R.G.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: 8° ano. 4 ed. São Paulo: FTD, 2018.

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.