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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Eine Zahlenfolgelegende und die geometrische Summenformel

Nach einer alten Legende schuf in Indien ein Brahmane (etwas wie Priester) das Schachspiel, um die Aufmerksamkeit seines grausamen Herrschers abzulenken. Der Herrscher war so begeistert, dass er dem Brahmanen belohnen wollte. Der Brahmane fragte dann als Belohnung die folgende Summe von Weizenkörnern. Auf das erste Feld des Schachbretts sollte ein Korn sein, am zweiten sollten doppelt so viele Körner sein usw. bis zum letzten Feld. Der Herrscher kannte keine Exponentialfunktionen und hat gedacht, dass diese Belohnung nicht so hoch wäre. Bald hat sich allerdings herausgestellt,dass er sich enorm geirrt hatte.

Versuchen wir zu berechnen, wie viele Körner das wären. Jedes mal muss mit zwei multipliziert werden. Dadurch bekommen wir die Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... Mit 128 sind wir noch beim 8. Feld. Wie wird die Zahl am 64. Feld aussehen?

Dafür müssen wir eine andere Darstellung dieser Zahlenreihe benutzen. Das erste Feld hat $2^{0}=1\$Korn, das zweite $2^{1}=2$, das dritte $2^{2}=4$, das vierte $2^{3}=8$, das fünfte $2^{4}=16$ usw.. Es wird also klar, dass die Hochzahl von 2 jedes mal um 1 weniger als die Anzahl des Feldes ist. Das Schachbrett hat 64 Felder, daher werden am letzten Feld $2^{64-1}=2^{63}=9223372036854775808$, also 9 Trillionen Körner sein. Gefragt ist allerdings die Summe. Es gibt einen Weg diese Summe mit einer Formel zu berechnen. Um diese Formel zu finden, benutzen wir den allgemeinen Fall. Wir fangen mit einem Wert w (hier 1) an und jedes mal wird das vorherige Ergebnis mit der gleichen Zahl a multipliziert. Das n-te Glied diese Zahlenfolge wird dann $w\cdot a^{n-1}$. Bei der Summe der Folgeglieder kann w herausgehoben werden: $w\cdot a^{0}+w\cdot a^{1}+w\cdot a^{2}+w\cdot a^{3}+...=w(1+a+a^{2}+a^{3}+...)$. Wir wollen die Summe in Klammer berechnen. Fangen wir mit der einfachen Tatsache an, dass diese Summe gleich sich selbst sein wird:

$1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}=1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}$

Multiplizieren wir jetzt beide Seiten mit a:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a=(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a$

Multiplizieren wir jetzt die rechte Seite der Gleichung aus. Dadurch wird die Hochzahl bei jedem Summand um eins mehr:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}$

Weizen

Subtrahieren wir jetzt von beiden Seiten die Zahlenfolge vom Anfang $(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$$=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$

Auf der linke Seite können wir die zweite Klammer mit 1 multiplizieren, auf der rechten die Klammer ausmultiplizieren, dadurch werden alle plus zu minus:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot 1$$=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}-1-a-a^{2}-a^{3}-...-a^{n-1}$

Auf der linken Seite können wir jetzt die Klammer herausheben und auf der rechten die Subtraktionen durchführen, wodurch alle Potenzen mit zwei Ausnahmen verschwinden:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot (a-1)=a^{n}-1$

Umformen (durch $(n-1)$):

$1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$

Letzteres Ergebnis ist die Summenformel einer sogenannten geometrischen Folge (geometrische Summenformel). Etwas abstrakter schreibt man in Mathematik:

$\sum \limits _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$

In der antiken Legende ist a gleich 2, die Summe der ganzen Körner ist daher:

${\frac {2^{64}-1}{2-1}}={\frac {2^{64}-1}{1}}=18446744073709551615\$Körner!

Diese Menge entspricht mehr als das 1000-fache der Jahresproduktion heutzutage. Was sollte der König machen? Ein Berater von ihm, hat ihm die Lösung gegeben. Er sollte die Körner eins zu eins zahlen lassen .

Folgen

Definition

Einfache Definition: Eine Folge in der Mathematik ist eine (endliche oder unendliche) Reihenfolge von Objekten, die man aufzählen und möglicherweise auch einordnen kann.

Zwei formelle Definitionen von Folgen sind:

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet.

Eine Folge ist eine eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ und den reellen Zahlen $\mathbb {R}$:

$n\mapsto a_{n},\ n\in \mathbb {N} ,a_{n}\in \mathbb {R}$

Nehmen wir jetzt als Beispiel eine Anzahl von Farben: {Rot, Blau, Grün, Blau, Schwarz}. Das ist schon eine Folge, in diesem Fall eine endliche. Könnte man eine unendliche Folge mit den Farben machen? Das ist eher eine physikalische als eine mathematische Frage. Da die Wahrnehmungszellen im Auge vermutlich stufenweise funktionieren (was von Quantenphysik bestimmt wird), wird wahrscheinlich die Antwort zu dieser Frage eher so sein: "Man kann wirklich eine riesige Zahl von Farben definieren, sie wird aber nicht unendlich sein". Das ist nicht der Fall mit Zahlen. Da kann man immer eine unendliche Folge aufbauen. Nehmen wir als Beispiel die Brüche von Fünf.

• Wir können eine endliche Folge definieren:
  Die erste 8 Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler: $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}}\}$.
• Wir können auch eine unendliche Folge definieren:
  Alle Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler: $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}},\ ...\}$.
• Wir können allerdings keine Folge definieren, wenn wir in unsere Definition alle Brüche von 5 benutzen. Das würde dann bedeuten, dass wir alle reelle Zahlen als Zähler benutzen sollen. Für die reellen Zahlen gibt es einen Beweis, dass es nicht möglich ist, sie aufzuzählen. Allein sogar die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht aufzählen!

In diesen Beispielen können wir die Glieder der Folge auch einordnen. Das erste Glied der Folge mit den 5 Farben ist Rot, das zweite Blau usw.. Diese Einordnung ist allerdings willkürlich. Bei der Folge mit den Brüchen kann die Einordnung sowohl willkürlich als auch nach einer Regel sein:

• willkürlich: $\{{\frac {2}{5}},{\frac {8}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {1}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {5}{5}}\}$.
• nach einer Regel (vom kleinsten zum größten): $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}},\ ...\}$.

Die arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine mathematische Folge, die eingeordnet ist und in der zwei nacheinander folgenden Glieder immer die gleiche Differenz aufweisen. Nehmen wir die erste 8 Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler:
$\left\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}}\right\}$
Die Folge ist eingeordnet und die Differenz zwei einander folgenden Glieder ist immer ${\tfrac {1}{5}}$. Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
${0{,}2\,,0{,}4\,,0{,}6\,,0{,}8\,,1,1{,}2\,,1{,}4\,,1{,}6}$

Eine andere arithmetische Folge kann beispielsweise mit 4,1 anfangen, die Differenz 3,3 aufweisen und unendlich sein:
$\{4{,}1\,,\ 7{,}4\,,\ 10{,}7\,,\ ...\}$
Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{4{,}1+0\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+1\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+2\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+3\cdot 3{,}3\,,\ \ ...\}$

Wie kann man diese Folgen ohne Auflistung ihrer Elemente definieren? Es gibt dafür zumindest zwei Wege:

• Jedes Glied als Funktion angeben:
  $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\quad n\in \mathbb {N} _{*}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq m$
• Das erste Glied und jedes folgende Glied mit einer sogenannten rekursiven Formel angeben:
  $a_{1}=b,a_{n+1}=a_{n}+d\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} _{*}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{1},a_{n+1}=a_{n}+d\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq m$

Für die Folge mit den 8 Brüchen ist in diesem Sinne die Definition mit einer Formel:

$a_{n}={\frac {1}{5}}+(n-1)\cdot {\frac {1}{5}}\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq 8$

Für die Folge mit 3,3 als Anfangsglied ist in diesem Sinne die Definition mit einer rekursiven Formel:

$a_{1}=4{,}1,a_{n+1}=a_{n}+3{,}3\quad n\in \mathbb {N} _{*}$

Die geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine mathematische Folge, die eingeordnet ist und in der zwei nacheinander folgenden Glieder immer den gleichen Quotient aufweisen. Nehmen wir die erste 7 Potenzen von 3 mit einer positive ganze Zahl als Hochzahl:
$\{3^{1},\ 3^{2},\ 3^{3},\ 3^{4},\ 3^{5},\ 3^{6},\ 3^{7}\}$
Die Folge ist eingeordnet und der Quotient zwei einander folgenden Glieder ist immer 3. Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243,\ 729,\ 2187\}$

Eine andere geometrische Folge kann beispielsweise mit 4 anfangen, den Quotient 1,5 aufweisen und unendlich sein:
$\{4,\ 6,\ 9,\ 13{,}5\,,\ 20{,}25\,,\ 30{,}375\,,\ ...\}$
Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{4\cdot 1{,}5^{0},\ 4\cdot 1{,}5^{1},\ 4\cdot 1{,}5^{2},\ 4\cdot 1{,}5^{3},\ 4\cdot 1{,}5^{4},\ 4\cdot 1{,}5^{5},\ ...\}$

Wie kann man diese Folgen ohne Auflistung ihrer Elemente definieren? Es gibt dafür zumindest zwei Wege:

• Jedes Glied als Funktion angeben:
  $a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}\quad n\in \mathbb {N}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}\quad n\in \mathbb {N} ,n\leq m$
• Das erste Glied und jedes folgende Glied mit einer sogenannten rekursiven Formel angeben:
  $a_{0}=b,a_{n+1}=a_{n}\cdot q\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{0}=b,a_{n+1}=a_{n}\cdot q\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} ,n\leq m$

Für die Folge mit Quotient 3 ist in diesem Sinne die Definition mit einer Formel:

$a_{n}=3\cdot 3^{n}\quad n\in \mathbb {N} ,n\leq 6$

Für die Folge mit Quotient 1,5 ist in diesem Sinne die Definition mit einer rekursiven Formel:

$a_{0}=4,a_{n+1}=a_{n}\cdot 1{,}5^{n}\quad n\in \mathbb {N}$

Die Fibonacci Folge und der goldene Schnitt

Die Fibonacci Folge ist eine berühmte mathematische Zahlenfolge, die sich leicht(er) durch eine rekursive Formel definieren lässt. Das nächste Glied wird als die Summe der zwei vorherigen Glieder definiert. Die zwei ersten Glieder sind entweder 0 und 1 oder 1 und 1:
$(0,)\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;$$13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots$
Die Definition durch eine rekursive Formel lautet daher (wenn wir mit 1 und nicht mit 0 anfangen):

$F_{0}=1,\;F_{1}=1\;F_{n+2}$$=F_{n}+F_{n+1}\quad n\in \mathbb {N}$

Das dritte Glied ist daher $F_{2}=F_{0}+F_{1}=1+1=2$, das vierte $F_{3}=F_{1}+F_{2}=1+2=2$, das fünfte $F_{4}=F_{2}+F_{3}=2+3=5$ usw..

Die Folge wurde nach einem berühmten Mathematiker des 11.-12. Jahrhunderts genannt, die Folge war allerdings schon seit langem bekannt. Fibonacci hat die Formel benutzt, um Wachstumsprozesse bei Kaninchen zu beschreiben, dass diese Wachstumsprozesse und andere Vorgänge in der Natur diesem Muster folgen war allerdings auch schon bekannt.

Eine interessante Eigenschaft der Folge ist, dass der Quotient zwei nacheinander folgenden Glieder der Folge immer näher zum sogenannten goldenen Schnitt sind. Der goldene Schnitt ist eine Zahl. Wenn man eine Strecke in zwei Teilstrecken so teilt, dass der Quotient der Länge der ganzen Strecke zum größten Teil soviel ist, wie der Quotient des größten Teils zum kleinsten, dann ist dieser Quotient der goldene Schnitt. Seine Wert ist:

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {2}{{\sqrt {5}}-1}}$

Man kann also beweisen:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$

Das ist das gleiche, wie der unendliche Kettenbruch:

$\phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}=[1;{\overline {1}}]$

Fibonacci Zahlen werden oft in Kryptographie benutzt. Allerdings kommen in einer großen Anzahl von Phänomenen vor:

• In der Natur:
  Die Blätter (Phyllotaxis) oder Fruchtstände vieler Pflanzen sind in Spiralen angeordnet, wobei die Anzahl dieser Spiralen den Fibonacci-Zahlen entsprechen.
  Die Fibonacci-Folge beschreibt die Ahnenmenge einer männlichen (n = 1) Honigbiene (Apis mellifera) usw..
• In Mathematik:
  Die Summe in bestimmte Diagonalen im Pascalschen Dreieck sind Fibonacci Folgen usw..

Die eulersche und die Kreiszahl als Folgen

Die eulersche Zahl ist die Basis der natürlichen Logarithmen:

$\log _{e}x=\ln x$

Kehrwertfunktion ${\tfrac {1}{x}}$

Die Logarithmusfunktion ist das Integral der Kehrwertfunktion $f(x)={\tfrac {1}{x}}$:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C$

Dadurch können wir die eulersche Zahl definieren:

$\int \limits _{1}^{z}{\frac {1}{x}}\,dx=1\Leftrightarrow z=e$

Also die Fläche zwischen der Kurve ${\tfrac {1}{x}}$ und der x-Achse von 1 bis $z$ ist genau dann gleich 1, wenn z gleich $e$ ist.

Für die eulersche Zahl gibt es allerdings noch einige andere Definitionen. Hier ist nur eine begrenzte Anzahl davon:

• Sie ist der Grenzwert der Folge $a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$.
  $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
• Sie ist so viel wie die unendliche Folgesumme (Reihe)
  $e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$.
• Sie lässt sich durch folgende unendliche Kettenbruchentwicklung berechnen
  ${\frac {1}{e-1}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}}}}$

Die Kreiszahl lässt sich als der Quotient des Umfangs eines Kreises durch seinen Durchmesser definieren. Die Formeln für die Berechnung der Kreiszahl sind i. d. R. kompliziert. Hier ist nur eine begrenzte Anzahl der einfachsten davon:

• Sie ist der Grenzwert der folgenden Produktfolge:
  $\pi =2\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots =\prod \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {(2\,i)^{2}}{i^{2}+2\,i}}$
• Ein viertel der Kreiszahl ist der Grenzwert der folgenden Folgesumme (Reihe):
  $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \cdots ={\frac {\pi }{4}}$
• Sie lässt sich durch das folgende unendliche Produkt berechnen:
  ${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots ={\frac {2}{\pi }}$
• Sie lässt sich durch folgende unendliche Kettenbruchentwicklung berechnen:
  ${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$