Versiera

U geometriji, versiera, versoria ili češće Vještica Agnesija ili Vještica Marije Agnesi je kriva u nekoj ravni, koja se konstruira primjenom elementarnih geometrijskih metoda i koja se analitički izražava preko racionalne funkcije. Njena osnovna grafička karakteristika je njen zvonasti oblik, koji je sličan obliku kojeg ima Gausova (normalna) raspodjela.

Historija

Konstrukcija versiere

Ovu krivu je proučavalo nekoliko matematičara tokom 17. i 18. vijeka, ali se njena konstrukcija uglavnom pripisuje matematičarki Mariji Gaetana Agnesi. "Versoria" je ime koje je ovoj krivoj dao ime Guido Grandi. Riječ dolazi iz latinskog jezika i označava homonim za "uže koje je povezano na kraj jedra", koje je korišteno za njegovo usmjeravanje. Maria Gaetana Agnesi je bila prva koja je uvela ime versiera. Vremenom riječ versaria je dobila novo značenje. Iz latinskog jezika, se uzima riječ adversaria, koja tokom vremena gubi slovo a, što na kraju rezultira da novonastala riječ versaria označava žensko biće koje je u suprotnosti s Bogom. Tokom prevođenja na engleski jezik taj naziv se prevodio u naziv "vještica".

Konstrukcija

Versiera se konstruiše na sljedeći način:

Versiera sa naznačenim tačkama

Uzme se neka fiksna kružnica, na kojoj se izabere tačka O, koja naprimjer leži u koordinatnom početku. Zatim se izabere i tačka M, koja treba da leži na suprotnom kraju kružnice u odnosu na tačku O. Kroz bilo koju drugu tačku na kružnici, naprimjer kroz tačku A, povuče se sekanta, koja treba prolazi i kroz tačku O. Navedena sekanta treba također da presijeca i tangentu tačke M, u nekoj tački N. Zatim se povuče jedna prava, koja je paralelna pravcu OM i koja prolazi kroz tačku P, gdje se ta tačka P treba nalaziti na istom pravcu kao i tačka A. Sem toga, ta prava treba da presijeca tangentu tačke M, u tački N. Nakon toga se povuče poluprava, koja započinje u tački A, koja je normalna na pravac OM, i prethodnu pravu i presijeca je u tački P. Za svaki korak u kojem se vrši pomijeranje tačaka A i P, za neke vrijednosti $\Delta x$ i $\Delta y$ u odnosu na ose, vrši se postepeno iscrtavanje linija, od prethodnog do novog položaja tačke P. Ako su pomjeranja dovoljno mala, dobit će se glatka kriva, a tokom iscrtavanja, tačka A se pomijera po kružnici.

Sa slike se može primijetiti da je tangenta tačke O, u stvari asimptota ove krive.

Jednačine

Animacija koja prikazuje konstrukciju Versiere

Pretpostavimo da je tačka O početna tačka, a da se tačka M nalazi na pozitivnom dijelu y-ose. Također pretpostavimo da je poluprečnik kruga $a$.U tom slučaju, kriva ima Kartezijevu jednačinu oblika:

$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.$

Ako je $a={\frac {1}{2}}$, jednakost se pojednostavljuje i dobije se:

$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$

Prethodna jednakost predstavlja izvod arkus tangensa funkcije.

Versiera sa različitim parametrima gdje su a = 1, a = 2, a = 4, i a = 8

Ako bi se koodinate izrazile parametarski, uz uslov da je ugao $\theta$ između OM and OA, usmjeren kao kazaljka na satu , onda se kriva može definisati preko sljedećih jednačina:

$x=2a\tan \theta ;\quad y=2a\cos ^{2}\theta =a\operatorname {vercosin} (2\theta ).\,$

U slučaju da je ugao $\theta$ zaklopljen sa OA i x-osom i da je usmjeren obrnuto od kazalje na satu, imamo sljedeće:

$x=2a\cot \theta ;\quad y=2a\sin ^{2}\theta =a\operatorname {versin} (2\theta ).$

Sređivanjem bilo kojeg para jednakosti, uz odgovarajuće zamjene, dobijamo parametriziranu jednačinu versiere:

$x=2at;\quad y={\frac {2a}{1+t^{2}}}.$

Primjena

Poprečni presjek vodenog vala koji ima sličan oblik kao i Versiera.

Versiera se primjenjuje u fizici, za opis nekih rezonantnih fenomena. Naprimjer, atom, ili generalnije molekula, kao mikroskopski sistemi su obično u nekoj fazi ekvilibrija. Pri uobičajenim uslovima, čestice unutar atoma i molekula se nalaze u stanju termodinamičkog ekvilibrija, što podrazumjeva da se nalaze na niskim energetskim nivoima. Ako je tim česticama data neka energija, naprimjer u vidu monohromatske elektromagnetske radijacije, te čestice će apsorbovati tu energiju i preći u viši energetski nivo, nakon čega će se ponovo vratiti u stabilno stanje prelaskom u niži stabilni nivo, uz emitovanje prethodno apsorbovane energije.

Versiera se također može koristiti za aproksimaciju distribucije spektralne energije, spektralnih linija kod X-zraka, ali i kod drugih tipova zračenja. Što se tiče njene primjene u statistici, preko versiere se može predstaviti Cauchyeva funkcija raspodjele. Kod matematičkog modeliranja, versiera se primjenjuje za opis neke generičke topografske prepreke za neki tok.

Također pogledajte

• Cauchyjeva raspodjela
• Versinus i vercosinus
• Tetiva

Literatura

• Eric W. Weisstein, Versiera na MathWorld-u.
• "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index Arhivirano 24. 3. 2017. na Wayback Machine
• "Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr)
• "MacTutor biography of Agnesi". Arhivirano s originala, 22. 3. 2017. Pristupljeno 6. 3. 2017.

"{{{title}}}". John H. Lienhard. The Engines of Our Ingenuity. NPR. KUHF-FM Houston. 2002. br. 1741. Transkript.

Vanjski linkovi

• Witch of Agnesi od Chrisa Bouchera bazirano na radu Erica W. Weissteina, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi – Mathforum.org Java applet