Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца $M[X]$ або $\mathbb {E} [X]$. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні $X$ і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні $X$ пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да $\mathbb {E} [X]$.

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$, з імавернасцямі $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$, дзе $p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n}=1$, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш $\mathbb {E} [X]=X_{1}p_{1}+X_{2}p_{2}+\dots +X_{n}p_{n}$ (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

Няхай зададзена прастора імавернасцей $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ і азначаная на ёй выпадковая велічыня $X$. То бок, паводле азначэння, $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад $X$ па прасторы $\Omega$, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца $M[X]$ або $\mathbb {E} [X]$:

$\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,dP(\omega ).$

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны $\pm \infty$, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання^:111.

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Калі $F_{X}(x)$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса^:112:

$\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)$, $x\in \mathbb {R}$.

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю $f_{X}(x)$, роўнае^:112

$\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx$.

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

Калі $X$ — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

$\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}$ , $\sum \limits _{i}p_{i}=1$,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што^:112

$\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i}x_{i}\,p_{i}$.

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

• Калі $X$ — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей

$\mathbb {P} (X=j)=p_{j}$ , $j=0,1,\dotsc$, $\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1$,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці $\{p_{i}\}$

$P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}$

Уласцівасці матэматычнага спадзявання

• Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.

$\mathbb {E} [a]=a$

$a\in \mathbb {R}$ — канстанта;

• Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок

$\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]$,

дзе $X,Y$ — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а $a,b\in \mathbb {R}$ — любыя канстанты;

У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

• Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі $0\leqslant X\leqslant Y$ амаль напэўна, і $Y$ — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні $X$ таксама канечнае, і больш за тое:

$0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]$.

• Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі $X=Y$ амаль напэўна, то

$\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]$.

• Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь $X,Y$ роўнае здабытку іх матспадзяванняў

$\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]$.

• Для ўсякай барэлеўскай і інтэгравальнай па меры $dF_{X}$ функцыі $\varphi :X(\Omega )\to \mathbb {R}$ матэматычнае спадзяванне $\varphi (X)$ існуе і роўнае^:113

$\mathbb {E} [\varphi (X)]=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)dF_{X}(x).$

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}$, азначанай на прасторы імавернасцей $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ з канечным матспадзяваннем $\mathbb {E} (X)$, справядліва няроўнасць:

$\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a}}$, дзе $a>0$.

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — прастора імавернасцей, $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — азначаная на ёй выпадковая велічыня, $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, тады

$\varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))$.

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

• Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
• Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

Літаратура

• Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
• Матэматычнае спадзяванне // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 212. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• Матэматычнае чаканне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 212. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).