Біекцыя

Біектыўная функцыя.

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць узаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць узаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноствы называюцца роўнамагутнымі. З пункту гледжання тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

Азначэнне

Функцыя $f\colon X\to Y$ называецца біекцыяй (і пазначаецца $f\colon X\leftrightarrow Y$), калі яна:

1. Пераводзіць розныя элементы мноства $X$ у розныя элементы мноства $Y$ (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • $\forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in X\;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$.
2. Кожны элемент з $Y$ мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • $\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$.

Прыклады

• Тоеснае адлюстраванне $\mathrm {id} \colon X\to X$ на мностве $X$ біектыўнае.
• $f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ — біектыўныя функцыі з $\mathbb {R}$ у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з $\mathbb {R}$ у сябе.
•  $f(x)=e^{x}$ — біектыўная функцыя з $\mathbb {R}$ у $\mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )$.
•  $f(x)=\sin x$ не з’яўляецца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім $\mathbb {R}$.
• Строга манатонная і неперарыўная функцыя $f(x)$ з’яўляецца біекцыяй з адрэзка $[a,b]$ на адрэзак $[f(a),f(b)]$.

Уласцівасці

Кампазіцыя ін’екцыі і сюр’екцыі, якая дае біекцыю.

• Функцыя $f\colon X\to Y$ з’яўляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя $f^{-1}\colon Y\to X$ такая, што

$\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.$

• Калі функцыі $f$ і $g$ біектыўныя, то і кампазіцыя функцый $g\circ f$ біектыўная, у гэтым выпадку $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі $g\circ f$ біектыўная, то мы можам казаць толькі, што $f$ ін’ектыўная, а $g$ сюр’ектыўная.

Літаратура

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — МЦНМО. — 128 с.