偏序
偏序者，柣序也。大小，長短，前後，皆偏序也。
定義
[纂]偏序者，關係也，且曰「不大於」，必以下是從。
- 物不大於己。曰反射。
- 甲不大於乙，乙不大於甲，則甲同乎乙。曰反對稱。
- 甲不大於乙，乙不大於丙，則甲不大於丙。曰傳遞。
最、極
[纂]凡一界之内，小於無物者，曰極大；大於無物者，曰極小。
物皆小於其者，曰最大；物皆大於其者，曰最小。最大必極大，最小必極小，反之則不然。
上界，下界
[纂]取子集，大於此集之所有，曰上界；小於此集之所有，曰下界。
若上界有最小者，曰最小上界；若下界有最大者，曰最大下界。
完備
[纂]完備者，凡子集有上界者必有最小上界也，同乎凡子集有下界者必有最大下界耳。
格
[纂]格者，凡二物必有最小上界及最大下界也。
全序
[纂]全序者，凡二物，必有前者小於後，或後者小於前。全序必格也。
良序
[纂]良序者，凡子集必有最小物也。良序必全序也。良序必完備也。噫，良序集果真井然有序耳，故得此名。
良序公理曰：「集皆可良序也。」此與選擇公理等價耳。
例
[纂]除盡
[纂]以甲為自然數集，乙為甲去一。以「除盡」為偏序，故有三不少於六，五不少於百。然三與百無可比耳，故「除盡」非全序耳。
一為甲之最小。三、七為乙之極小，然乙無最小者也。甲乙皆無極大者。
取甲之子集，其物之公因數乃下界，最大公因數為最大下界。
取甲之二物，最大公因數為最大下界，最小公倍數為最小上界，故甲乃格也。取乙之二、三，並無最大下界[一]，故乙非格也。
不論甲乙，凡子集有下界者，其最大公因數亦存，故有最大下界。故甲乙皆完備也。
不大于
[纂]觀分數集，以「不大于」為偏序。凡二物必可比，故此乃全序耳。立方大于二者，成一子集，有下界零，然無最大下界[二]，是以分數集非完備耳。
觀實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。然無最小者，故非良序。
觀正實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。立方大于二者，成一子集，二開立方為最大下界，然非子集之物也，故子集無最小者也，是以正實數集非良序。
觀自然數集，以「不大于」為偏序，良序耳。
不小于
[纂]觀自然數集，以「不小于」為偏序。故三不大於二，五不大於三[三]，故自然數無最小者也。故非良序耳。