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Sólido rígido |
Estática. Elasticidad Momento de una fuerza Medida del módulo de elasticidad Flexión de una viga Pandeo de una barra Medida del módulo de cizallamiento
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 Formulación discreta
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| Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas. La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
Formulación discretaSea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.
Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha. La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa
Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx. Tx=Tcosq0= Tcosqi= Tcosqi+1 =TcosqN+1 Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo q i y el ángulo q i+1
A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.
Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qN en función del ángulo inicial q0. tanqN=tanq0-Ng Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que tanq0=- tanqN Por tanto, tanq0=Ng /2 Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo qi en función del ángulo inicial q0. tanqi=tanq0-g i=(N-2i)·g /2 El ángulo qi que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial q0 y el final qN se calculan mediante la siguiente fórmula
Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosq j y d·senq j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)
ActividadesPara representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet
Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja. |
Catenaria simétricaConsideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud).
En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:
La condición de equilibrio se escribe Tcosq =T0 O bien,
Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2
Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.
Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.
Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.
La ecuación de la catenaria es, finalmente
La longitud de la catenaria es
Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro g es grande y difieren cuando g es pequeño. El parámetro g=mg/Tx es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.
Ejemplo
En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria
Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación trascendente, cuya solución es g =4.354, y a continuación calculamos h=0.4 Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos g =1.478, y h=0.27
ActividadesSe introduce La "luz" a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición Se pulsa el botón titulado Dibuja
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Beléndez, A., Beléndez, T. Neipp C. Estudio estático de un cable homogéneo bajo la acción de su propio peso: Catenaria. Revista Española de Física 15(4) 2001, págs. 38-42
Adler, C. Catenaries on the Computer: A Freshman Physics Assignment. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 254-255.
public class Ecuacion {
static final double CERO=1e-10;
static final double ERROR=0.001;
static final int MAXITER=200;
static double pos=0.5; //la "luz" a, cambiar este valor
public static void main(String[] args) {
double gamma=puntoMedio(0.1, 100.0);
System.out.println(pos+" "+gamma);
}
static double puntoMedio(double a, double b) {
double m, ym;
int iter=0;
do{
m=(a+b)/2;
ym=f(m);
if(Math.abs(ym)<CERO) break;
if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
if((f(a)*ym)<0) b=m;
else a=m;
iter++;
}while(iter<MAXITER);
if(iter==MAXITER){
System.out.println("No se ha encontrado la raíz");
}
return m;
}
static double f(double x){
return(senh(pos*x)-x); //la longitud de la cadena es 1.0
}
static double senh(double x){ //seno hiperbólico
return((Math.exp(x)-Math.exp(-x))/2);
}
}
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Catenaria
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