Tetraedro

Volumen

[[File:Triangle_GeometryArea.svg|600px|alt={{{Alt|Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro: ${\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}$]]

Cálculo del área de un triángulo o área de una cara del tetraedro: ${\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}$

El volumen de un tetraedro es

V = ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\times B\times h}$, siendo B el área de una cara y h la altura del tetraedro, o sea el segmento perpendicular al plano de la base desde el vértice opuesto.

El volumen de un tetraedro de altura ${\displaystyle h}$ y base regular de lado ${\displaystyle L}$ es^[5]

${\displaystyle V=h\cdot L^{2}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{12}}}$

Recurso de geometría analítica del espacio

Existe una fórmula general para calcular del volumen de un tetraedro OABC, donde O coincide con el origen de coordenadas, sea o no regular, en función de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus vértices, A, B, C:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\,{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\end{vmatrix}}}$

Esta fórmula también se puede escribir en términos de las coordenadas cartesianas de los cuatro vértices ${\displaystyle \scriptstyle \{(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2}),\ (x_{2},y_{2},z_{3})\ (x_{4},y_{4},z_{4})\}}$; el volumen de un tetraedro (regular o no) viene dado por la siguiente fórmula:

${\displaystyle V={\frac {1}{3!}}\,{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}}$

Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas ${\displaystyle \ l_{1}}$ y ${\displaystyle \ l_{2}}$, la distancia${\displaystyle \ h}$ y el ángulo ${\displaystyle \theta }$ entre ellas:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\cdot l_{1}\cdot l_{2}\cdot h\cdot \sin \theta }$

Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su coronación ${\displaystyle \ l_{1}}$, la longitud en la base ${\displaystyle \ l_{2}}$ y su altura${\displaystyle \ h}$.

La generalización de la fórmula de Herón permite calcular el volumen de un tetraedro a partir de la medida de sus aristas a, b, c, ab, ac y bc:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}u\cdot u&u\cdot v&u\cdot w\\v\cdot u&v\cdot v&v\cdot w\\w\cdot u&w\cdot v&w\cdot w\end{vmatrix}}}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\,{\begin{vmatrix}a^{2}&{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+b^{2}-ab^{2}}{2}}&b^{2}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}\\{\frac {a^{2}+c^{2}-ac^{2}}{2}}&{\frac {b^{2}+c^{2}-bc^{2}}{2}}&c^{2}\end{vmatrix}}}}}$

u, v y w son los vectores determinados por las aristas a, b y c. Se tiene en cuenta la fórmula ${\displaystyle (u-v)\cdot (u-v)=u\cdot u+v\cdot v-2u\cdot v}$.

Alturas del tetraedro

Un tetraedro (no necesariamente regular) se define en ℝ³ conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo ${\displaystyle \scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3}),V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$. Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano (plano por tres puntos) base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que llamaremos ${\displaystyle \scriptstyle V_{2},V_{3}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle V_{4}}$ y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos ${\displaystyle \scriptstyle V_{1}}$ .

Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vértice opuesto en ${\displaystyle \scriptstyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ y después poner los valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo en ${\displaystyle \scriptstyle V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ y ${\displaystyle \scriptstyle V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$ , luego aplicarlos en la fórmula siguiente:

${\displaystyle {\text{Altura}}=\left|{\frac {x_{1}(y_{2}(z_{3}-z_{4})+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3}))+{y_{1}}(x_{2}(z_{4}-z_{3})+x_{3}(z_{2}-z_{4})+x_{4}(z_{3}-z_{2}))+{z_{1}}(x_{2}(y_{3}-y_{4})+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3}))-x_{2}y_{3}z_{4}+x_{2}y_{4}z_{3}+x_{3}y_{2}z_{4}-x_{3}y_{4}z_{2}-x_{4}y_{2}z_{3}+x_{4}y_{3}z_{2}}{\sqrt {(-x_{2}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{3}y_{2}-x_{3}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{4}y_{3})^{2}+(-x_{2}z_{3}+x_{2}z_{4}+x_{3}z_{2}-x_{3}z_{4}-x_{4}z_{2}+x_{4}z_{3})^{2}+(-y_{2}z_{3}+y_{2}z_{4}+y_{3}z_{2}-y_{3}z_{4}-y_{4}z_{2}+y_{4}z_{3})^{2}}}}\right|.}$

Para conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus vértices. Esta fórmula no requiere que el tetraedro sea regular, vale para cualquier tetraedro no degerado.

Diversas medidas usando la arista

Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:

• Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a\approx 0,6124\cdot a}$

• Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a\approx 0,2041\cdot a}$

• Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\approx 0,3536\cdot a}$

En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio ρ de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.

• La altura H del tetraedro regular (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vértice opuesto):^[6][7]

${\displaystyle H={\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\approx 0,81649658909\cdot a}$

Volumen, área y desarrollo

Dado un tetraedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:^[6][8]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot a^{3}\approx 0,1178511302\cdot a^{3}}$

Y el área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:^[6][8]

${\displaystyle A=4\cdot A_{c}=4\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}={\sqrt {3}}\cdot a^{2}\approx 1,732050808\cdot a^{2}}$

Ángulos

Los ángulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60° (π/3 rad), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.

Los ángulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

${\displaystyle \delta =2\cdot \arcsin {\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 1,23\ {\text{rad}}\ (70^{\circ }31'43,61'')}$

Los ángulos sólidos que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

${\displaystyle \omega ={\frac {A_{c}}{H^{2}}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}{\left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\right)^{2}}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}sr\approx 0,650\ {\text{sr}}}$

Propiedades particulares

Simetría

Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis planos de simetría, los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 24: 2x(4x3).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría tetraédricos, el denominado T_d según la notación de Schläfli.

El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta.

• Un plano que pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta de un tetraedro regular es un plano de simetría del tetraedro regular.En total hay 6 planos de simetría.^[9]

Secciones

Las infinitas secciones que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar:

• Triángulos;
  • En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un triángulo equilátero.
• Cuadriláteros;
  • En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un rectángulo.
  • Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte equidista de ambas, la sección resultante es un cuadrado de lado mitad de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos diferentes.