Estadístico muestral

Media muestral

Si se tiene una muestra estadística de valores ${\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n})}$ para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) (donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución) se define la media muestral n-ésima como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}$

Varianza muestral

De forma análoga a la media muestral y utilizando los mismos elementos que en la misma, la definición de varianza muestral es la siguiente:

${\displaystyle S_{n}^{2}=T((X_{1}-{\bar {X}}_{n})^{2},(X_{2}-{\bar {X}}_{n})^{2},...,(X_{n}-{\bar {X}}_{n})^{2})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X_{n}}})^{2}}$

Cuasi-varianza muestral

Y la cuasi-varianza, que ofrece un estadístico menos sesgado que la varianza, es:

${\displaystyle S_{n-1}^{2}=T((X_{1}-{\bar {X}}_{n})^{2},(X_{2}-{\bar {X}}_{n})^{2},...,(X_{n}-{\bar {X}}_{n})^{2})={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X_{n}}})^{2}}$

Momentos muestrales

Con las mismas notaciones usadas a la media y varianza muestral se define el estadístico momento muestral no centrado como:

${\displaystyle m_{k}=M_{k}(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$

Nótese que m₁ es precisamente la media muestral. Análogamente se define el estadístico momento muestral centrado como:

${\displaystyle a_{k}=M_{k}^{c}(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}}_{n})^{k}}$

que guarda las siguientes relaciones con estadísticos previamente definidos:

${\displaystyle a_{1}=0\qquad a_{2}=m_{2}-m_{1}^{2}={\frac {n-1}{n}}S_{n}^{2}}$

Suficiencia

El concepto de estadístico suficiente fue introducido por Fisher en 1922, y como originalmente indicó, un estadístico es suficiente para los objetivos de la inferencia estadística si contiene, en cierto sentido, toda la «información» acerca de la función de distribución a partir de la cual se ha generado la muestra.

Formalmente si ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}\;}$ es una muestra de una variable aleatoria ${\displaystyle X\;}$ cuya distribución de probabilidad pertenece a una familia de distribuciones dadas por un vector paramétrico ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F_{\theta }|\theta \in \Theta \}}$, entonces se dice que un cierto estadístico ${\displaystyle T=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})\;}$ es suficiente para θ o para la familia si y solo si, la distribución condicionada de ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}|T\;}$ no depende de ${\displaystyle \Theta \;}$.

Estimación puntual

La estimación puntual consiste en utilizar el valor de un estadístico, denominado estimador, para calcular el valor de un parámetro desconocido de una población. Por ejemplo, cuando usamos la media muestral para estimar la media de una población, o la proporción de una muestra para estimar el parámetro de una distribución binomial.

Una estimación puntual de algún parámetro de una población es un solo valor obtenido a partir de un estadístico.

Contraste de hipótesis