Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto ${\displaystyle C\subseteq X}$ de un espacio topológico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ (donde ${\displaystyle {\mathcal {T}}\,}$ es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'partir'. En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo.

Formalmente

${\displaystyle C\subseteq X}$ es un conjunto conexo si y sólo si

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B=\emptyset ,C\subseteq A\cup B}$ implica ${\displaystyle C\subseteq A\vee C\subseteq B}$

Nótese que si ${\displaystyle C=X}$ y cumple lo anterior, entonces se dice que ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$es un espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que ${\displaystyle C\subseteq X}$ es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Se va a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S ₁ y S ₂, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Una hoja de papel es un conjunto conexo, al cortarla en dos partes se ve que ningún punto de una parte es punto de acumulación de la otra.

Sea ${\displaystyle \mathbb {R} }$ provisto de la topología usual ${\displaystyle T_{u}}$, además ${\displaystyle J}$ un intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} ,M}$ y ${\displaystyle N}$ subconjuntos abiertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tales que ${\displaystyle J}$ es parte de la unión de ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset }$. Entonces ${\displaystyle J\cap M=\emptyset \,\,\vee J\cap N=\emptyset }$. En este caso ${\displaystyle J}$ es un subconjunto conexo de la recta real.

• Un subconjunto ${\displaystyle H}$ de la recta es un subconjunto conexo de la recta real cuando, y sólo cuando se trata de un único intervalo. De cualquier intervalo basta retirar un punto, lo que queda ya no es conexo, tampoco lo es el conjunto ${\displaystyle K=\left\{{\frac {1}{n}},\forall \,n\,\in \mathbb {N} \right\}}$^[2]

Se cumple que si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: ${\displaystyle C\subseteq X}$ es un conjunto conexo si y solamente si para toda función ${\displaystyle f\colon C\to \{0,1\}\ }$ continua, se cumple que ${\displaystyle f}$ es una función constante, donde a ${\displaystyle \{0,1\}}$ se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si ${\displaystyle ({X_{i},{\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}}$ es una familia de espacios topólogicos conexos (con ${\displaystyle I}$ un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces ${\displaystyle \left(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}}\right)}$ también es conexo, donde ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ es la topología producto.

Por último, si ${\displaystyle X}$ no es conexo, es decir, si existen abiertos ${\displaystyle U,V}$ disjuntos no vacíos tales que su unión es ${\displaystyle X}$, es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: ${\displaystyle X}$ será conexo si y sólo si los únicos clopen son ${\displaystyle X}$ y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Artículo principal: Espacio conexo por arcos

Diremos que un conjunto ${\displaystyle X}$ es conexo por arcos o arco conexo si dados ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ existe una función continua llamada arco ${\displaystyle \alpha$ :[0,1]\rightarrow X} tal que ${\displaystyle \alpha (0)=x_{1}}$ y ${\displaystyle \alpha (1)=x_{2}}$.

La conexidad por arcos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, ${\displaystyle X=A\cup B}$, donde ${\displaystyle A=\{(0,1)\}}$ y ${\displaystyle B=\left\{(\lambda ,0):\lambda \in (0,1]\right\}\cup \left\{({\frac {1}{n}},\mu ):n\in \mathbb {N} {\text{ y }}\mu \in [0,1]\right\}}$. ${\displaystyle X}$ es conexo, pero no conexo por arcos.

Ser conexo por arcos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por arcos, cualquier subconjunto de este no es necesariamente conexo por arcos). Sin embargo, ser conexo por arcos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por arcos es conexa por arcos).

Dado un espacio topológico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto ${\displaystyle Y\subset X\,}$ es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

1. ${\displaystyle Y\subset X\,}$ es conexo.
2. Cualquier conjunto ${\displaystyle Z\,}$ que contiene propiamente a ${\displaystyle Y\,}$ es disconexo.

Se cumple que las componentes conexas de ${\displaystyle X}$ forman una partición de ${\displaystyle X}$. Si ${\displaystyle X}$ es conexo, se tiene que ${\displaystyle X}$ es su única componente conexa.

De manera similar se define componente arco conexa. Una componente arco conexa siempre está contenida en una componente conexa.

Un espacio topológico se dice totalmente desconectado, si sus únicas componentes conexas son los conjuntos unitarios. Cada espacio discreto es totalmente desconectado, pero también hay espacios no discretos con la propiedad, por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ como subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con su topología usual. Asimismo hay espacios totalmente desconectados que no son numerables, por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {Q} '}$ (irracionales, como subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$) o el conjunto ternario de Cantor ${\displaystyle C}$.^[3]

Dado un espacio topológico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, se dice que es localmente conexo si para todo punto de ${\displaystyle X}$ existe una base de entornos conexos. Similarmente, se dice que es localmente arco conexo si todo punto de ${\displaystyle X}$ tiene una base de entornos arco conexos.

La importancia de estas propiedades es que se heredan a subespacios abiertos de ${\displaystyle X}$: si ${\displaystyle Y\subseteq X}$ es abierto y ${\displaystyle X}$ es localmente arco conexo, entonces ${\displaystyle Y}$ también lo es. Además, en un espacio localmente arco conexo las componentes conexas siempre son abiertas -en un espacio general son cerradas- y coinciden con las arco componentes.