Gauss eliminasyonu

Matematikte, satır azaltma olarak da bilinen Gauss eliminasyonu, lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir algoritmadır. Karşılık gelen katsayı matrisi üzerinde gerçekleştirilen bir dizi işlemden oluşur. Bu yöntem aynı zamanda bir matrisin sırasını, bir kare matrisin determinantını ve ters çevrilebilir bir matrisin tersini hesaplamak için de kullanılabilir. Yöntem adını Carl Friedrich Gauss'tan (1777-1855) almıştır ancak yöntemin bazı özel durumları - kanıt olmadan sunulsa da - Çinli matematikçiler tarafından MS. 179 dolaylarında biliniyordu.

Bir matriste satır indirgeme yapmak için matrisin sol alt köşesi mümkün olduğunca sıfırlarla dolana kadar matrisi değiştirmek için bir dizi temel satır işlemi kullanılır. Üç tür temel sıra işlemi vardır:

• İki satırı değiştirmek,,
• Bir satırı sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak,
• Bir satırın katlarını başka bir satıra eklemek,

Bu işlemler kullanılarak, bir matris her zaman bir üst üçgen matrise ve aslında satır basamaklı matrise dönüştürülebilir. Önde gelen katsayıların tümü (her satırda en soldaki sıfır olmayan) 1 olduğunda ve bir önde gelen katsayı içeren her sütun başka bir yerde sıfır olduğunda, matrisin satır indirgenmiş basamaklı formda olduğu söylenir. Bu son biçim benzersizdir yani kullanılan satır işlemlerinin dizisinden bağımsızdır. Örneğin, aşağıdaki satır işlemleri dizisinde (birinci ve üçüncü adımlarda farklı satırlar üzerinde iki temel işlemin yapıldığı), üçüncü ve dördüncü matrisler satır kademeli formdakilerdir ve son matris benzersiz indirgenmiş satırdır.

${\begin{bmatrix}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Bir matrisi indirgenmiş satır kademeli forma dönüştürmek için satır işlemlerini kullanmak Gauss-Jordan eliminasyonu olarak isimlendirilir. Bu durumda Gauss eliminasyonu terimi, üst üçgen veya (indirgenmemiş) satır basamaklı formuna ulaşana kadar olan süreci ifade eder. Hesaplama nedenlerinden dolayı, bazen lineer denklem sistemlerini çözerken matris tamamen indirgenmeden önce satır işlemlerini durdurmak tercih edilir.

Kaynakça

Alıntı eserler

• An Introduction to Numerical Analysis, 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1989, ISBN 978-0471624899 .
• Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications, 2nd, Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0-471-79156-0 .
• A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, 1999, ISBN 978-0-02-318285-3 .
• Linear Least Squares Computations, STATISTICS: Textbooks and Monographs, Marcel Dekker, 1988, ISBN 978-0-8247-7661-9 .
• Undergraduate Convexity: From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker .
• Matrix Computations, 3rd, Johns Hopkins, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9 .
• "How ordinary elimination became Gaussian elimination", Historia Mathematica, 38 (2), 2011a, ss. 163-218, arXiv:0907.2397 $2, doi:10.1016/j.hm.2010.06.003 
• "Mathematicians of Gaussian elimination" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 58 (6), 2011b, ss. 782-792, 6 Aralık 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 1 Haziran 2023 
• Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM, 2002, ISBN 978-0-89871-521-7 .
• A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, 2004, ISBN 978-0-321-16193-2 .
• "Numerical Methods with Applications: Chapter 04.06 Gaussian Elimination" (PDF). 1st. University of South Florida. 2010. 7 Eylül 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
• Schaum's outline of theory and problems of linear algebra, New York: McGraw-Hill, 2001, ss. 69-80, ISBN 978-0-07-136200-9 .
• "Section 2.2", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8 

Dış bağlantılar

Vikikitap

Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

Linear Algebra

• Etkileşimli didaktik araç 1 Haziran 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.