Rot av tal
(Omdirigerad från Babyloniska metoden)
| Matematiska operationer | ||
|---|---|---|
| Addition (+) | ||
| term + term addend + addend |
= | summa |
| Subtraktion (−) | ||
| term − term minuend − subtrahend |
= | differens |
| Multiplikation (× eller ·) | ||
| faktor × faktor multiplikator × multiplikand |
= | produkt |
| Division (÷ eller /) | ||
| täljare / nämnare dividend / divisor |
= | kvot |
| Moduloräkning (mod) | ||
| dividend mod divisor | = | rest |
| Exponentiering (^) | ||
| basexponent | = | potens |
| n:te roten (√) | ||
| grad √radikand | = | rot |
| Logaritm (log) | ||
| logbas(potens) | = | exponent |
En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xn = a. Rottecknet är en operator på talet a.
- Fallet n = 2 kallas kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal
- Fallet n = 3 kallas kubikrot
Den n:te roten till ett tal betecknas:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
Talet benämns grad eller rotindex och benämns radikand.
Beräkning
[redigera | redigera wikitext]Rötter kan beräknas med hjälp av logaritmer då
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=e^{\frac {\ln x}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b501b0ff87ef6c8028a8c829cb663691c4b4a2)
Algoritm
[redigera | redigera wikitext]För att beräkna kan följande algoritm användas:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c619f2e28fc8407c3489c1b78f2348f129a712)
- Gör en första gissning (ju närmare desto snabbare konvergerar algoritmen).
- Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd
![{\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a04ab474a1b0d5803206757164ad075abc43707)
Härledning
[redigera | redigera wikitext]Algoritmen kan härledas från Newton-Raphsons metod.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}=x\Leftrightarrow x^{n}-A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb2c4a6c33c104a86ec37cd65bae47583334f30)
Vi söker alltså nollstället till
Iterationsformeln blir
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {n\cdot x_{k}^{n}-(x_{k}^{n}-A)}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9ef7d4fb0380b398e94754f505400c29d6f7de)
Ett specialfall är då n = 2 vilket är mer känt som den babyloniska metoden.
Se även
[redigera | redigera wikitext]- Kvadratrot
- Kubikrot
- Rottecken
- Irrationella tal
- Algebraiska tal
- Geometriskt medelvärde
- Tolfte roten ur 2
Källor
[redigera | redigera wikitext]- Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962