Теорија прстена

У алгебри, теорија прстена је изучавање прстенова — алгебарских структура у којима су сабирање и множење дефинисани и имају слична својства са тим операцијама дефинисаним за целе бројеве. Теорија прстена изучава структуре прстена, њихове репрезентације, или другим речима,модуле, специјалне класе прстена (групе прстена, дељење прстена, универзалне окружујуће алгебре), као и низ својстава за која је доказано да су од интереса унутар саме теорије и за њене примене, као што су хомолошка својства и полиномијски идентитети.

Комутативни прстенови су много боље изучени од оних који нису комутативни. Алгебарска геометрија и алгебарска теорија бројева, које пружају многе природне примере комутативних прстенова, покренули су већи део развоја комутативне теорије прстена, која је сада под именом комутативне алгебре, једно од главних подручје модерне математике. Будући да су ова три поља (алгебарска геометрија, алгебарска теорија бројева и комутативна алгебра) толико блиско повезана, обично је тешко и бесмислено да се разврстава којем пољу припада дати резултат. На пример, теорема Хилбертових нула је фундаментална за алгебарску геометрију, а наведена је и доказана у смислу комутативне алгебре. Слично томе, последња Фермаова теорема је наведена у виду елементарне аритметике, која је део комутативне алгебре, али њен доказ укључује дубоке резултате из алгебарске теорије бројева и алгебарске геометрије.

Некомутативни прстенови имају у знатној мери различит профил, те се стога могу јавити необичније појаве. Мада се та теорија углавном самостално развила, постоји новији тренд који тежи упоређивању са комутативним развојем грађењем теорије извесних класа некомуникативних прстенова на геометријски начин, као да су то прстенови функција на (непостојећим) 'некомутативним просторима'. Овај тренд је започео током 1980-их са развојем некомутативне геометрије и открићем квантних група. То је довело до бољег разумевања некомуникативних прстенова, посебно некомутаторних Нетерових прстенова.

За дефиниције прстена, основне појмове и њихова својства, погледајте прстен (математика). Дефиниције термина који се користе у читавој теорији прстена могу се наћи у глосару теорије прстена.

Комутативни прстени

Главни чланак: Комутативна алгебра

Прстен се назива комутативним ако је његова мултипликација комутативна. Комутативни прстени подсећају на познате бројевне системе, и различите дефиниције комутативних прстенова су дизајниране да формализују својства целих бројева. Комутативни прстенови такође су важни у алгебарској геометрији. У теорији комутативних прстена бројеви се често замењују идеалима, а дефиниција простог идеала настоји да обухвати суштину простих бројева. Интегрални домени, нетривијални комутативни прстенови у којима два ненулта елемента не могу множењем да дају нулу, генерализирају још једно својство целих бројева и служе као одговарајућа област за проучавање дељивости. Главни идеални домени су интегрални домени у којима сваки идеал може бити генерисан једним елементом, још једним својством које је заједничко са целим бројевима. Еуклидски домени су интегрални домени у којима се може спровести еуклидски алгоритам. Важни примери комутативних прстенова могу се конструирати као прстенови полинома и њихови факторски прстенови. Резиме: Еуклидски домен => главни идеални домен => јединствени домен факторизације => интегрални домен => комутативни прстен.

Алгебарска геометрија

Главни чланак: Алгебарска геометрија

Алгебарска геометрија је на много начина огледало слике комутативне алгебре. Та еквиваленција је започела са Хилбертовим теоремом нула која успоставља кореспонденцију један на један између тачака алгебарског варијетета и максималних идеала његовог координатног прстена. Ова кореспонденција је проширена и систематизована за транслирање (и доказивање) већине геометријских својстава алгебричних варијетета у алгебарска својства повезаних комутативних прстенова. Александар Гротендик је ово комплетирао увођењем шема, генерализације алгебричних варијетета, које могу бити изграђене од било ког комутативног прстена. Прецизније, спектар комутацијског прстена је простор његових главних идеала опремљен топологијом Зариског, а допуњен је снопом прстенова. Ови објекти су „афине шеме” (генерализације афиних варијетета), а општа шема се затим добија „спајањем” (чисто алгебарским методама) неколико таквих афиних шема, аналогно начину конструисања многострукости спајањем карти атласа.

Некомутативни прстени

Главни чланци: Некомутативни прстен, некомутативна алгебарска геометрија и некомутативна геометрија

Некомутативни прстени у много чему личе на прстенове матрица. По моделу алгебарске геометрије, у последње време је покушано да се дефинише некомутативна геометрија заснована на некомунитативним прстеновима. Некомуникативни прстенови и асоцијативне алгебре (прстенови који су такође векторски простори) често се проучавају путем њихових категорија модула. Модул над прстеном је абеловска група на коју прстен делује као прстен ендоморфизама, врло слично начину на који поља (интегрални домени у којима је сваки ненулти елемент инвертибилан) делују на векторске просторе. Примери некомутативних прстенова дати су прстеновима квадратних матрица или генералније прстеновима ендоморфизама абеловских група или модула, и моноидним прстенима.

Теорија репрезентације

Главни чланак: Теорија репрезентације

Теорија репрезентације је грана математике која у великој мери почива на некомутативним прстеновима. Она проучава апстрактне алгебарске структуре представљајући́ њихове елементе као линеарне трансформације векторских простора и проучава модуле над тим апстрактним алгебарским структурама. У суштини, репрезентација чини апстрактни алгебрски објект конкретнијим описујући његове елементе матрицама и алгебарске операције у смислу додавања и множења матрица, што није комутативно. Алгебарски објекти који се могу описати на овај начин обухватају групе, асоцијативне алгебре и Лијеве алгебре. Најпроминентнија од ових (и историјски прва) је теорија репрезентације група, у којој су елементи групе представљени инвертабилним матрицама на такав начин да је групна операција множење матрица.

Литература

• Алленбy, Р. Б. Ј. Т. (1991), Рингс, Фиелдс анд Гроупс (Сецонд изд.), Едwард Арнолд, Лондон, стр. xxви+383, ИСБН 0-7131-3476-3, МР 1144518 
• Блyтх, Т.С.; Робертсон, Е.Ф. (1985), Гроупс, Рингс анд Фиелдс: Алгебра тхроугх працтице, Боок 3, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-27288-2 
• Фаитх, Царл (1999), Рингс анд Тхингс анд а Фине Арраy оф Тwентиетх Центурy Ассоциативе Алгебра, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 65, Провиденце, РИ: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 0-8218-0993-8, МР 1657671 
• Гоодеарл, К. Р.; Wарфиелд, Р. Б., Јр. (1989), Ан Интродуцтион то Нонцоммутативе Ноетхериан Рингс, Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс, 16, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-36086-2, МР 1020298 
• Јудсон, Тхомас W. (1997), Абстрацт Алгебра: Тхеорy анд Апплицатионс, Архивирано из оригинала 30. 8. 2019. г., Приступљено 12. 4. 2020 
• Кимберлинг, Цларк (1981), „Еммy Ноетхер анд Хер Инфлуенце”, Ур.: Бреwер, Јамес W; Смитх, Мартха К, Еммy Ноетхер: А Трибуте то Хер Лифе анд Wорк, Марцел Деккер, стр. 3—61 
• Лам, Т. Y. (1999), Лецтурес он Модулес анд Рингс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 189, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-98428-3, МР 1653294, дои:10.1007/978-1-4612-0525-8 
• Лам, Т. Y. (2001), А Фирст Цоурсе ин Нонцоммутативе Рингс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 131 (Сецонд изд.), Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-95183-0, МР 1838439, дои:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Лам, Т. Y. (2003), Еxерцисес ин Цлассицал Ринг Тхеорy, Проблем Боокс ин Матхематицс (Сецонд изд.), Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-00500-5, МР 2003255 
• Матсумура, Хидеyуки (1980), Цоммутативе Алгебра, Матхематицс Лецтуре Ноте Сериес, 56 (Сецонд изд.), Реадинг, Масс.: Бењамин Цуммингс, ИСБН 0-8053-7026-9, МР 575344 
• МцЦоннелл, Ј. C.; Робсон, Ј. C. (2001), Нонцоммутативе Ноетхериан Рингс, Градуате Студиес ин Матхематицс, 30, Провиденце, РИ: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 0-8218-2169-5, МР 1811901, дои:10.1090/гсм/030 
• О'Цоннор, Ј. Ј.; Робертсон, Е. Ф. (септембар 2004), „Тхе девелопмент оф ринг тхеорy”, МацТутор Хисторy оф Матхематицс Арцхиве, Архивирано из оригинала 30. 10. 2019. г., Приступљено 01. 03. 2020 
• Пиерце, Рицхард С. (1982), Ассоциативе Алгебрас, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 88, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-90693-2, МР 674652 
• Роwен, Лоуис Х. (1988), Ринг Тхеорy, Вол. I, Пуре анд Апплиед Матхематицс, 127, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс, ИСБН 0-12-599841-4, МР 940245 . Вол. II, Пуре анд Апплиед Матхематицс 128, ISBN 0-12-599842-2.
• Wеибел, Цхарлес А. (2013), Тхе К-боок: Ан интродуцтион то алгебраиц К-тхеорy, Градуате Студиес ин Матхематицс, 145, Провиденце, РИ: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-9132-2, МР 3076731 
• Мицхаел Атиyах & Иан Г. Мацдоналд, Интродуцтион то Цоммутативе Алгебра, Массацхусеттс : Аддисон-Wеслеy Публисхинг, 1969.
• Боурбаки, Ницолас, Цоммутативе алгебра. Цхаптерс 1--7. Транслатед фром тхе Френцх. Репринт оф тхе 1989 Енглисх транслатион. Елементс оф Матхематицс (Берлин). Спрингер-Верлаг, Берлин, 1998. xxив+625 пп. ISBN 3-540-64239-0
• Боурбаки, Ницолас, Éлéментс де матхéматиqуе. Алгèбре цоммутативе. Цхапитрес 8 ет 9. (Елементс оф матхематицс. Цоммутативе алгебра. Цхаптерс 8 анд 9) Репринт оф тхе 1983 оригинал. Спрингер, Берлин, 2006. ии+200 пп. ISBN 978-3-540-33942-7
• Еисенбуд, Давид (1995). Цоммутативе алгебра wитх а виеw тоwард алгебраиц геометрy. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 150. Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. xви+785. ИСБН 0-387-94268-8. МР 1322960. 
• Рéми Гоблот, "Алгèбре цоммутативе, цоурс ет еxерцицес цорригéс", 2е éдитион, Дунод 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Ернст Кунз, "Интродуцтион то Цоммутативе алгебра анд алгебраиц геометрy", Биркхаусер 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Матсумура, Хидеyуки, Цоммутативе Ринг Тхеорy. Сецонд едитион. Транслатед фром тхе Јапанесе. Цамбридге Студиес ин Адванцед Матхематицс, Цамбридге, УК : Цамбридге Университy Пресс, 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Нагата, Масаyосхи, Лоцал рингс. Интерсциенце Трацтс ин Пуре анд Апплиед Матхематицс, Но. 13. Интерсциенце Публисхерс а дивисион оф Јохн Wилеy анд Сонс, Неw Yорк-Лондон 1962 xиии+234 пп.
• Милес Реид, Ундерградуате Цоммутативе Алгебра (Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс), Цамбридге, УК : Цамбридге Университy Пресс, 1996.
• Јеан-Пиерре Серре, Лоцал алгебра. Транслатед фром тхе Френцх бy ЦхееWхyе Цхин анд ревисед бy тхе аутхор. (Оригинал титле: Алгèбре лоцале, мултиплицитéс) Спрингер Монограпхс ин Матхематицс. Спрингер-Верлаг, Берлин, 2000. xив+128 пп. ISBN 3-540-66641-9
• Схарп, Р. Y., Степс ин цоммутативе алгебра. Сецонд едитион. Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс, 51. Цамбридге Университy Пресс, Цамбридге, 2000. xии+355 пп. ISBN 0-521-64623-5
• Зариски, Осцар; Самуел, Пиерре, Цоммутативе алгебра. Вол. 1, 2. Wитх тхе цооператион оф I. С. Цохен. Цоррецтед репринтинг оф тхе 1958, 1960 едитион. Градуате Теxтс ин Матхематицс, Но. 28, 29. Спрингер-Верлаг, Неw Yорк-Хеиделберг-Берлин, 1975.

Спољашње везе

• Introduction to Ring Theory by Sachi Hashimoto Архивирано на сајту Wayback Machine (13. јул 2019)