Kvadrika

Kvadrika alebo kvadratická plocha je plocha 2. stupňa v trojrozmernom priestore. Teda ide o plochy, ktoré v pravouhlej súradnicovej sústave $\{0,x,y,z\}$ môžeme zapísať v tvare $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+ezy+fxz+gx+hy+iz+j=0$

Definícia

V priestore majme danú rovinu $k$, v nej kužeľosečku $K$ a bod $V$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok $V,X$, kde $X\in K$, sa nazýva kvadratická kužeľová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $V=[0,0,0]$ a $K:z=c$, kde $c\neq 0$. Potom rovnice kvadratických kužeľových plôch budú:

${\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$ ... eliptická kužeľová plocha,

${\frac {(x-{\frac {m}{n}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {n}{n}}z)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$ ... hyperbolická kužeľová plocha,

$c(y-{\frac {n}{c}}z)^{2}-2p(x-{\frac {m}{c}}z)z=0$ ... parabolická kužeľová plocha.

V priestore majme danú rovinu $k$, v nej kužeľosečku $K$ a priamku $p$ rôznobežnú s rovinou $k$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok, ktoré sú rovnobežné s $p$ a pretínajú $K$ sa nazýva kvadratická valcová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $p\equiv {P;{\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$. Potom rovnice kvadratických valcových plôch budú:

${\frac {(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1$ ... eliptická valcová plocha,

${\frac {(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}}{b^{2}}}=1$ ... hyperbolická valcová plocha,

$(y-{\frac {v_{2}}{v_{3}}}z)^{2}-2p(x-{\frac {v_{1}}{v_{3}}}z)=0$ ... parabolická valcová plocha.

Elipsoid

Elipsoid

Elipsoid je stredová kvadrika s tromi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v elipsách. Kanonické rovnice elipsoidu sú ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ Ak $a=b$, tak daný elipsoid je rotačný. V prípade $a=b=c$ je daný elipsoid guľovou plochou.

Hyperboloid

Jednodielny hyperboloid

Dvojdielny hyperboloid

Kanonické rovnice hyperboloidu sú

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ ... jednodielny hyperboloid,

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ ... dvojdielny hyperboloid.

Jednodielny resp. dvojdielny hyperboloid sú stredové kvadriky s tromi rovinami súmernosti, pričom roviny $x=0$ a $y=0$ pretínajú plochu v hyperbolách a rovina $z=0$ v elipse resp. nemá s plochou žiaden spoločný bod. Hyperboloidy, pre ktoré platí $a=b$, sú rotačné hyperboloidy.

Paraboloid

Hyperbolický paraboloid

Paraboloid je nestredová kvadrika s dvomi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v parabolách. Kanonické rovnice paraboloidu sú

${\frac {x^{2}}{p}}+{\frac {y^{2}}{q}}=2z$ ... eliptický paraboloid,

${\frac {x^{2}}{p}}-{\frac {y^{2}}{q}}=2z$ ... hyperbolický paraboloid,

kde $p,q$ sú kladné čísla. Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_{1})^{2}+b(y-s_{2})^{2}+c(z-s_{3})^{2}+d=0$ v dotykovom bode $M=[m_{1},m_{2},m_{3}]$ má rovnicu $a(m_{1}-s_{1})(x-s_{1})+b(m_{2}-s_{2})(y-s_{2})+c(m_{3}-s_{3})(z-s_{3})+d=0$.

Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_{1})^{2}+b(y-s_{2})^{2}-c(z-s_{3})^{2}=0$ v dotykovom bode $M=[m_{1},m_{2},m_{3}]$ má rovnicu $a(m_{1}-s_{1})(x-s_{1})+b(m_{2}-s_{2})(y-s_{2})+c(z+m_{3}-{2_{s}}_{3})=0$

Pozri aj

• Kužeľosečka
• Guľová plocha
• Kvadratická forma
• Geometria

Literatúra

• M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 65

Externé odkazy

• Kvadratické plochy, Výukový materiál
• Kvadriky