Monom

În matematică, un monom este, practic, un polinom care are un singur termen. Pot fi întâlnite două definiții ale unui monom:

1. Un monom este un produs de puteri ale variabilelor cu exponenți întregi nenegativi, sau, cu alte cuvinte, un produs de variabile, eventual cu repetări. De exemplu, $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ este un monom. Constanta $1$ este un monom, fiind egală cu un produs vid cu $x^{0},$ unde $x$ este o variabilă oarecare. Dacă există o singură variabilă, $x,$ atunci monomul este $1$ sau o putere $x^{n}$ a lui $x,$ cu $n$ un întreg pozitiv. Dacă sunt mai multe variabile, de exemplu $x,y,z,$ atunci fiecare are un exponent, astfel că monomul este de forma $x^{a}y^{b}z^{c}$ cu $a,b,c$ întregi nenegativi (de notat că orice exponent $0$ transformă factorul respectiv în $1$).

1. Un monom este un monom în primul sens înmulțit cu o constantă diferită de zero, numită coeficientul monomului. Un monom în primul sens este un caz special al unui monom din al doilea sens, unde coeficientul este $1$. De exemplu, în această interpretare $-7x^{5}$ și $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ sunt monoame (în al doilea exemplu, variabilele sunt $x,y,z,$ iar coeficientul este un număr complex).

În contextul polinoamelor Laurent și seriilor Laurent^⁠(d), exponenții dintr-un monom pot fi negativi, iar în contextul seriilor Puiseux^⁠(d) exponenții pot fi numere raționale.

Compararea celor două definiții

Cu oricare dintre definiții, mulțimea monoamelor este o submulțime a polinoamelor care este o mulțime închisă față de înmulțire.

Ambele definiții ale acestei noțiuni pot fi găsite și, în multe cazuri, deosebirea dintre ele este ignorată, a se vedea, de exemplu, exemple pentru prima și a doua. În discuțiile neformale, deosebirea este rareori importantă, iar tendința este spre al doilea sens, mai larg. Totuși, atunci când se studiază structura polinoamelor adesea este nevoie de o noțiune având primul sens. Acesta este, de exemplu, cazul când se ia în considerare o bază monomială^⁠(d) a inelului polinoamelor^⁠(d), sau o ordine monomială^⁠(d) a acestei baze. Un argument în favoarea primului sens este și că nu este disponibilă o altă noțiune evidentă pentru a desemna aceste valori, în timp ce noțiunea de polinom coincide fără echivoc cu al doilea sens al monomului.

În continuare, articolul se bazează pe primul sens al monomului.

Bază monomială

Faptul cel mai evident legat de prima definiție a monoamelor este că orice polinom este o combinație liniară^⁠(d) a acestora, deci formează o bază a spațiului vectorial al polinoamelor, numită baza monomială — utilizată constant implicit în matematică.

Număr

Numărul monoamelor de grad $d$ în $n$ variabile este numărul combinațiilor a $d$ elemente alese dintre variabilele $n$ (o variabilă poate fi aleasă de mai multe ori, dar ordinea nu contează), care este dată de coeficienții binomiali ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$:

$\left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.$

Această formă este deosebit de utilă când se fixează numărul de variabile și se lasă gradul să varieze. Din aceste expresii se vede că pentru n fix, numărul de monoame de grad d este o expresie polinomială în $d$ de gradul $n-1$ cu coeficientul ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$.

De exemplu, numărul monoamelor în trei variabile ($n=3$) de gradul d este ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$; aceste numere formează șirul 1, 3, 6, 10, 15, ... al numerelor triunghiulare.

Seriile Hilbert^⁠(d) sunt un mod compact de a exprima numărul de monoame de un anumit grad: numărul de monoame de grad $d$ în $n$ variabile este coeficientul de gradul $d$ din dezvoltarea seriilor formale

${\frac {1}{(1-t)^{n}}}.$

Numărul monoamelor de grad cel mult d în n variabile este ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$. Acest lucru rezultă din corespondența unu-la-unu dintre monoamele de gradul $d$ în $n+1$ variabile și monoamele de gradul cel mult $d$ în $n$ variabile, care constă în înlocuirea cu 1 a variabilei suplimentare.

Notație

Notația monoamelor este necesară frecvent în domenii precum ecuațiile cu derivate parțiale. Dacă variabilele folosite formează o familie indexată ca $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ..., atunci se poate folosi notația cu indici multipli^⁠(d). Pentru o exprimare compactă, pentru $\alpha =(a,b,c)$ se poate defini

$x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}.$

Grad

Gradul unui monom este definit drept suma tuturor exponenților variabilelor, inclusiv exponenții impliciți ai lui 1 pentru variabilele care apar fără exponent; de exemplu, în exemplul secțiunii anterioare, gradul este $a+b+c$. Gradul lui $xyz^{2}$ este 1+1+2=4. Gradul unei constante diferite de zero este 0. De exemplu, gradul lui −7 este 0.

Uneori gradul unui monom este numit ordin, mai ales în contextul seriilor. Se mai numește grad total atunci când este necesar de a-l deosebi de gradul uneia dintre variabile.

Gradul unui monom este fundamental pentru teoria polinoamelor în una sau mai multe variabile. Explicit, este utilizat pentru a defini gradul unui polinom și noțiunea de polinom omogen, precum și pentru ordonările monomiale utilizate în formularea și calculul bazelor Gröbner^⁠(d). Implicit, este folosit în gruparea termenilor unei serii Taylor în mai multe variabile.

Geometrie

În geometria algebrică varietățile definite prin ecuații monomiale $x^{\alpha }=0$ pentru un anumit set de α au proprietăți speciale de omogenitate. Acest lucru poate fi formulat în limbajul grupurilor algebrice în termenii existenței unei acțiuni de grup^⁠(d) al unui tor algebric^⁠(d) (echivalent cu un grup multiplicativ de matrici diagonale). Acest domeniu este studiat sub numele de varietăți torice^⁠(d).