Micul icosicosidodecaedru retrosnub

Descriere
Micul icosicosidodecaedru retrosnub

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	112 (100 triunghiuri 12 pentagrame)
Laturi (muchii)	180
Vârfuri	60
χ	−8
Configurația vârfului	(3⁵.5/3)/2^[1]
Simbol Wythoff	\| 3/2 3/2 5/2^[1]
Simbol Schläfli	sr{5/3,3/2}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈0,498 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	micul hexacontaedru hexagramic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul icosicosidodecaedru retrosnub este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₇₂. Are 112 fețe (100 de triunghiuri și 12 pentagrame), 180 de laturi și 60 de vârfuri.^[1]^[2] Având 112 de fețe, este un hecatododecaedru. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi. Mai este cunoscut drept icosaedru retroholosnub. Spre deosebire de majoritatea poliedrelor snub, are simetrii de reflexie.

40 din cele 100 de fețe triunghiulare care nu sunt snub (albastre în imaginea din casetă) sunt grupate în 20 de perechi coplanare, formând hexagrame neregulate.

Are simbolul Schläfli sr{5/3,3/2}, simbolul Wythoff | 3/2 3/2 5/2^[1] și diagrama Coxeter–Dynkin .

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic icosicosidodecaedru retrosnub centrat în origine, cu lungimea laturii de 4, sunt toate permutările pare ale:^[3]^[4]

\left(\,\pm (1-\varphi -\alpha ),\,0,\,\pm (3-\varphi \alpha )\,\right)

\left(\,\pm (\varphi -1-\alpha ),\,\pm 2,\,\pm (2\varphi -1-\varphi \alpha )\,\right)

\left(\,\pm (\varphi +1-\alpha ),\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm (1-\varphi \alpha )\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur iar $\alpha ={\sqrt {3\varphi -2}}.$ .

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii egală cu $a$ este:^[2]^[5]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {13+3{\sqrt {5}}-{\sqrt {102+46{\sqrt {5}}}}}}\,a\approx 0,580695\,a

Volum

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V={\frac {1}{12}}\left(45+39{\sqrt {5}}-5{\sqrt {302+150{\sqrt {5}}}}\right)\,a^{3}\approx 0,497644\,a^{3}

Poliedre înrudite

Anvelopa sa convexă este un dodecaedru trunchiat neuniform.

Dodecaedru trunchiat	Dodecaedru trunchiat neregulat (anvelopa convexă)	Micul icosicosidodecaedru retrosnub

Poliedru dual

Dualul său este micul hexacontaedru hexagramic.^[6]

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „72: small retrosnub icosicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 20 ianuarie 2024.
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, Small Retrosnub Icosicosidodecahedron la MathWorld.
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Klitzing, Richard. „3D star small retrosnub icosicosidodecahedron”.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Bibliografie

en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.

Vezi și

Legături externe

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: sirsid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „72: small retrosnub icosicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 20 ianuarie 2024.

[MW-2] Eric W. Weisstein, Small Retrosnub Icosicosidodecahedron la MathWorld.

[3] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[4] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[5] Klitzing, Richard. „3D star small retrosnub icosicosidodecahedron”.

[6] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal