Mediană

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

Concurența medianelor într-un triunghi

Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.

Împărțirea egală a ariilor

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că $DF$ este linia mijlocie a triunghiului :$ABC$, opusă laturii $BC$. Prin urmare, este paralelă cu $BC$ și are lungimea egală cu ${\frac {BC}{2}}$.

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

$OCB=ODF$

și

$OBC=OFD$

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile $\Delta OBC$ și $\Delta OFD$ sunt asemenea. Rezultă că

${\frac {OF}{OB}}$=${\frac {OD}{OC}}$=${\frac {FD}{BC}}$=${\frac {1}{2}}$

Demonstrație prin teorema lui Ceva

Deoarece:

${\frac {AF}{FC}}$ = ${\frac {CE}{EB}}$ = ${\frac {BD}{DA}}$ = 1, rezultă că și :${\frac {AF}{FC}}$ . ${\frac {CE}{EB}}$ . ${\frac {BD}{DA}}$=1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

$m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$.

Alte proprietăți

• Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
• Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$
• Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$

• Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:

${\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.$

• Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor m_a, m_b și m_c și semisuma lungimilor medianelor (m_a + m_b + m_c)/2 notată σ, când se obține:

$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

Vezi și

• triunghi;
• bisectoarele;
• înălțime (geometrie);
• mediatoare;
• linia mijlocie