Teorema da decomposição de Doob–Meyer

O teorema da decomposição de Doob–Meyer é um teorema em cálculo estocástico que afirma as condições sob as quais um submartingale pode ser decomposto de forma única como a soma de um martingale e um processo crescente previsível. Recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob e ao matemático francês Paul-André Meyer.

História

Em 1953, Doob publicou o teorema da decomposição de Doob, que dá uma única decomposição para certos martingales de tempo discreto. O matemático norte-americano conjeturou uma versão de tempo contínuo do teorema e, em duas publicações em 1962 e 1963, Meyer provou tal teorema, que se tornou conhecido como decomposição de Doob–Meyer. Em homenagem a Doob, o matemático francês usou o termo "classe D" para se referir à classe de supermartingales para os quais seu teorema da decomposição única se aplicava.

Supermartingales de classe D

Um submartingale càdlàg $Z$ é de classe D se $Z_{0}=0$ e a coleção:

$\{Z_{T}\mid {\text{T um tempo de parada de valor finito}}\}$

for uniformemente integrável.

Teorema

Considere $Z$ um submartingale càdlàg de classe D. Então, existe um processo único, crescente e previsível $A$ com $A_{0}=0$ tal que $M_{t}=Z_{t}-A_{t}$ é um martingale uniformemente integrável.