Processo de nascimento e morte

Um processo de nascimento e morte é um caso especial do processo de Markov de tempo contínuo em que as transições de estado são de apenas dois tipos: "nascimentos", que aumentam a variável de estado em um, e "mortes", que diminuem o estado em um. O nome do modelo vem de uma aplicação comum, o uso de tais modelos para representar o tamanho atual de uma população em que as transições são nascimentos e mortes literais. Processos de nascimento e morte têm muitas aplicações em demografia, teoria das filas, engenharia de desempenho, epidemiologia e biologia. Eles podem ser usados, por exemplo, para estudar a evolução das bactérias, o número de pessoas com uma doença no interior de uma população ou o número de clientes em uma fila em um supermercado.

Quando um nascimento ocorre, o processo vai do estado $n$ ao estado $n+1$. Quando uma morte ocorre, o processo vai do estado $n$ ao estado $n-1$. O processo é especificado por taxas de nascimento $\{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }$ e taxas de morte $\{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }$:

Exemplos

Um processo de nascimento puro é um processo de nascimento e morte em que $\mu _{i}=0$ para todo $i\geq 0$.

Um processo de morte puro é um processo de nascimento e morte em que $\lambda _{i}=0$ para todo $i\geq 0$.

Um processo de Poisson (homogêneo) é um processo de nascimento puro em que $\lambda _{i}=\lambda$ para todo $i\geq 0$.

O modelo $M/M/1$ e o modelo $M/M/c$, ambos usados em teoria das filas, são processos de nascimento e morte usados para descrever cliente em uma fila infinita.

Uso em teoria das filas

Em teoria das filas, o processo de nascimento e morte é o exemplo mais fundamental de um modelo de fila, a fila $M/M/C/K/\infty /FIFO$ (em notação de Kendall completa). Esta é uma fila com chegadas de Poisson, retiradas a partir de uma população infinita, $C$ servidores com tempo de serviço exponencialmente distribuído e $K$ lugares na fila. Apesar do pressuposto de uma população infinita, este modelo é bom para vários sistemas de telecomunicações.

Fila $M/M/1$

Ver artigo principal: Fila M/M/1

A fila $M/M/1$ é uma fila com um único servidor com um buffer de tamanho infinito. Em um ambiente não aleatório, os processos de nascimento e morte em modelos de fila tendem a ser médias a longo prazo, de modo que a taxa média de chegada é dada como $\lambda$ e o tempo médio de serviço é dado como $1/\mu$. O processo de nascimento e morte é uma fila $M/M/1$ quando:

$\lambda _{i}=\lambda {\text{ e }}\mu _{i}=\mu {\text{ para todo }}i.$

As equações de diferença para a probabilidade de que o sistema esteja no estado $k$ no tempo $t$ são:

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t).$

Fila $M/M/c$

A fila $M/M/c$ é uma fila multiservidor com $C$ servidores e um buffer infinito. Esta difere da fila $M/M/1$ apenas no tempo de serviço, que agora se torna:

$\mu _{i}=i\mu {\text{ para }}i\leq C$

e

$\mu _{i}=C\mu {\text{ para }}i\geq C$

com

$\lambda _{i}=\lambda {\text{ para todo }}i.$

Fila $M/M/1/K$

A fila $M/M/1/K$ é uma fila com um único servidor com um buffer de tamanho $K$. Esta fila tem aplicações em telecomunicações, assim como em biologia, quando uma população tem um limite de capacidade. Em telecomunicações, nós usamos novamente os parâmetros a partir da fila $M/M/1$ com:

$\lambda _{i}=\lambda {\text{ para }}0\leq i<K,$

$\lambda _{i}=0{\text{ para }}i\geq K,$

$\mu _{i}=\mu {\text{ para }}1\leq i\leq K.$

Em biologia, particularmente no crescimento de bactérias, quando a população é zero, não há habilidade de crescer, então:

$\lambda _{0}=0.$

Adicionalmente, se a capacidade representar um limite em que a população morre devido à superpopulação:

$\mu _{K}=0.$

As equações diferenciais para a probabilidade de que o sistema esteja no estado $k$ no tempo $t$ são:

$p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),$

$p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t){\text{ para }}k\leq K,$

$p_{k}^{\prime }(t)=0{\text{ para }}k>K.$

Equilíbrio

Diz-se que uma fila está em equilíbrio se o limite $\lim _{t\to \infty }p_{k}(t)$ existir. Para que isto seja o caso, $p_{k}^{\prime }(t)$ deve ser zero.

Usando a fila $M/M/1$ como um exemplo, as equações de estado estável (estado de equilíbrio) são:

$\lambda _{0}p_{0}(t)=\mu _{1}p_{1}(t),$

$(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t).$

Se $\lambda _{k}=\lambda$ e $\mu _{k}=\mu$ para todo $k$ (o caso homogêneo), isto pode ser reduzido a:

$\lambda p_{k}(t)=\mu p_{k+1}(t){\text{ para }}k\geq 0$

Comportamento de limite

Em um tempo pequeno $\Delta t$, apenas três tipos de transições são possíveis: uma morte, um nascimento ou nenhuma morte e nenhum nascimento. Se a taxa de ocorrências (por unidade de tempo) for $\lambda$ e aquela para mortes for $\mu$, então as probabilidades para as transições acima são $\lambda \Delta t$, $\mu \Delta t$ e $1-(\lambda +\mu )\Delta t$ respectivamente. Para um processo de população, o "nascimento" é a transição rumo a um crescimento da população em 1, enquanto a "morte" é a transição rumo a um decrescimento do tamanho da população em 1.

Ver também

• Processo de Moran
• Teoria das filas
• Unidade Erlang