Processo de Bessel

Em matemática, um processo de Bessel, que recebe este nome em homenagem a Friedrich Wilhelm Bessel, é um tipo de processo estocástico.^[1]

Definição formal

Três representações de processos de Bessel

O processo de Bessel de um ordem $n$ é o processo de valores reais $X$ dado por

X_{t}=\|W_{t}\|,

em que $\lVert \cdot \rVert$ denota a norma euclidiana em $R^{n}$ e $W$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de $n$ dimensões a partir da origem.

Este processo de Bessel de $n$ dimensões é a solução para a equação diferencial estocástica^[2]

dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}

Em que $Z$ é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensão $1$ . Note que esta equação diferencial estocástica faz sentido para qualquer parâmetro real $n$ (ainda que o termo de deriva seja singular em $0$ ). Assumindo-se que $W$ começou a partir da origem, a condição inicial é $X_{0}=0$ .

Notação

Uma notação para o processo de Bessel de dimensão $n$ iniciado em $0$ é $BES_{0}(n)$ .

Dimensões específicas

Para $n\geq 2$ , o processo de Wiener de $n$ dimensões é transitório a partir de seu ponto de origem: com probabilidade $1$ , $X_{t}>0$ para todo $t>0$ . É, entretanto, recorrente na vizinhança para $n=2$ , o que significa que, com probabilidade $1$ , para qualquer $r>0$ , há $t$ arbitrariamente grandes com $X_{t}<r$ . Por outro lado, é verdadeiramente transitório para $n>2$ , o que significa que $X_{t}\geq r$ para todo $t$ suficientemente grande.

Para $n\leq 0$ , o processo de Bessel é geralmente iniciado em pontos diferentes de $0$ , já que a deriva a $0$ é tão forte que o processo fica preso a $0$ assim que atinge $0$ .

Relação com movimento browniano

Processos de Bessel de dimensões $0$ e $2$ são relacionados a tempos locais do movimento browniano via teoremas de Ray-Knight.^[3]

A lei de um movimento browniano perto dos extremos de $X$ é a lei de um processo de Bessel tridimensional (Fórmula de Tanaka).

Referências

↑ Rogers, L. C. G.; Williams, David (13 de abril de 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521775946
↑ Øksendal, Bernt (1 de janeiro de 2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540047582
↑ Revuz, Daniel; Yor, Marc (9 de março de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662064009

[1] Rogers, L. C. G.; Williams, David (13 de abril de 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521775946

[2] Øksendal, Bernt (1 de janeiro de 2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540047582

[3] Revuz, Daniel; Yor, Marc (9 de março de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662064009

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos