Função de Dirichlet

Em matemática, sobretudo na análise real, a função de Dirichlet, em honra a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fornece um exemplo de função que é descontínua em todos os pontos do domínio.

A função de Dirichlet é uma exemplo de função real limitada que não é integrável à Riemann.

Definição

A função de Dirichlet $D(x)$ está definida em todos os números reais atribuindo o valor 1 aos pontos racionais e 0 aos pontos irracionais:

$D(x)=\left\{{\begin{array}{lr}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{array}}\right.$

Também pode ser definida como o limite duplo:

$D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}m!\pi x$

Em notação moderna, a função de Dirichlet nada mais é que a função indicadora de $\mathbb {Q}$ em $\mathbb {R}$.

Integrabilidade

A função de Dirichlet não é integrável a Riemman em nenhum intervalo do tipo $[a,b]\,~~a<b$. Pois seu supremo é 1 e seu ínfimo é 0 em qualquer partição de comprimento positivo.

Não obstante, a função de Dirichlet é quase-sempre nula, ou seja, $D(x)=0$ exceto em um conjunto de medida zero. Sendo assim, $D(x)$ é uma função mensurável à Lebesgue e sua integral de Lebesgue é nula em qualquer mensurável.

Variantes

Uma variante bem conhecida da função de Dirichlet é a Função de Thomae:^{[carece de fontes]}

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x=0\\{\frac {1}{q}},&{\text{se }}x={\frac {p}{q}},\operatorname {mdc} (p,q)=1,q>0\\[4pt]0,&{\text{se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

Onde $p$ e $q$ são inteiros e $\operatorname {mdc} (p,q)$ é o máximo divisor comum de $p$ e $q$.

Esta função é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional. Observe que os pontos de descontinuidade de uma função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ formam um conjunto ${\mathfrak {F}}_{\sigma }$ (veja álgebra de Borel) e, portanto, não há tal função contínua em cada racional e descontínua em cada irracional.