Filtração (matemática)

Na teoria dos sistemas dinâmicos sobre variedades, uma filtração é uma seqüência de subvariedades onde se pode decompor a dinâmica em pedaços menores.

Definição

Sejam M uma variedade suave e $f:M\rightarrow M$ um homeomorfismo. Além disto, sejam $k\in \mathbb {N}$ positivo, e $\emptyset =M_{0},...,M_{k}=M$ uma seqüência de subvariedades de M, possivelmente com fronteira, e com codimensão 0. Dizemos que M$=\{M_{0},...,M_{k}\}$ é uma filtração adaptada a f caso $f(M_{i})$ esteja contido no interior de $M_{i}$, para cada i entre 0 e k.

Se M$=\{M_{0},...,M_{k}\}$ e N$=\{M_{0},...,M_{l}\}$ são duas filtrações, dizemos que M refina N caso para cada $i\in \{1,..,l\}$, exista um $j\in \{1,..,k\}$ tal que $N_{i}\setminus N_{i-1}\subset M_{j}\setminus M_{j-1}$.

Dizemos $\{$M_i$\}_{i\in \mathbb {N} }$ é uma seqüência de filtrações caso M_i+1 refine M_i, para todo $i\in \mathbb {N}$.

Aplicações

O conceito de filtração é utilizado para definir uma condição (a existência de uma sequência fina de filtrações), que garanta que o conjunto dos pontos não-errantes de um homeomorfismo é contínuo superiormente na topologia de Hausdorff. Na linguagem dos sistemas dinâmicos, temos o seguinte teorema: a existência de uma sequência fina de filtrações adaptadas a um homeomorfismo f implica que não existem ômega-explosões para um homeomorfismo f.

Referências

• Shub, M. (1996) Global stabiltity of dynamical systems, Springer Verlag.