Equação de Tanaka

Em matemática, a equação de Tanaka é um exemplo de equação diferencial estocástica que admite uma solução fraca, mas que não tem nenhuma solução forte. Recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka.

Definição

A equação de Tanaka é uma equação diferencial estocástica unidimensional:

$\mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} B_{t},$

dirigida pelo movimento browniano canônico $B$ com condição inicial $X_{0}=0$, em que $\operatorname {sgn}$ denota a função sinal:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$

Destaca-se o valor não convencional de $\operatorname {sgn}(0)$. A função sinal não satisfaz a condição de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existência e a unicidade de soluções fortes. A equação de Tanaka não tem nenhuma solução forte, isto é, uma para a qual a versão $B$ do movimento browniano é dada antecipadamente e a solução $X$ é adaptada à filtração gerada por $B$ e pelas condições iniciais. Entretanto, a equação de Tanaka tem uma solução fraca, uma para a qual o processo $X$ e a versão do movimento browniano são ambos especificados como parte da solução, em vez do movimento browniano sendo dado a priori. Neste caso, simplesmente escolhe-se $X$ para ser qualquer movimento browniano ${\hat {B}}$ e define-se ${\tilde {B}}$ por:

${\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\mathrm {d} X_{s},$

isto é,

$\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} X_{t}.$

Assim,

$\mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},$

e, então, $X$ é uma solução fraca da equação de Tanaka. Além disto, esta solução é fracamente única, isto é, qualquer outra solução fraca deve ter a mesma lei.