Układ współrzędnych kartezjańskich

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich, prostokątny układ współrzędnych – prostoliniowy układ współrzędnych, którego osie są parami prostopadłe.

Pewne cechy takiego układu mają szachownica znana od starożytności oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora. W 1636 roku prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak nie opublikował tych prac, przez co pozostały nieznane. Kartezjusz (fr. René Descartes) opracował to niezależnie i opublikował w 1637 roku w traktacie La Géométrie – stąd nazwa; francuski przymiotnik to cartesien. Wywołało to spór o pierwszeństwo z Fermatem, jednak zakończył się on pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług.

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, oznaczany literą $O$ (ang. origin – źródło, początek),
• ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • $OX$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • $OY$ (druga, zwana osią rzędnych).

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Wykresy funkcji

Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:

$y=f(x),$

np.

$f(x)=ax+b$

przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod $x$ wartości, otrzymujemy drugą współrzędną $y.$

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P{:}$

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu $P.$

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• $x$ – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
• $y$ – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
• $z$ – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych

• Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy $A=(a,b),$ $B=(c,d)$

$C=\left({\tfrac {a+c}{2}},{\tfrac {b+d}{2}}\right)$

• odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla $A=(a,b)$

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

• Długość odcinka AB dla $A=(a,b),$ $B=(c,d)$

$\vert AB\vert ={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\quad {}$ lub ${}\quad {}\vert AB\vert ={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}.$

Ćwiartki i oktanty

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami, zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem.

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Układ lewoskrętny po lewej, prawoskrętny po prawej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny.

Układ współrzędnych $xyz$ nazywa się prawoskrętnym, jeżeli zginając palce prawej dłoni zakreśla się mniejszy łuk od osi $x$ do $y,$ przy czym kciuk jest stale ustawiony zgodnie ze zwrotem osi $z$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej).

W ten sposób skrętność układu wyznaczamy posługując się prawą ręką człowieka.

Zobacz też

• algorytm Hirvonena
• przestrzeń kartezjańska
• geometria nieeuklidesowa
• układ współrzędnych biegunowych

Bibliografia

• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.
• T. Trajdos: Matematyka cz. III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.