Rozmaitość riemannowska

Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – rzeczywista rozmaitość różniczkowa $M$ wymiaru $n,$ w której zdefiniowana jest odległość (metryka) pomiędzy punktami w następujący sposób:

(1) jeżeli wprowadzi się w rozmaitości $M$ układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n}),$ to długość infinitezymalnego wektora $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego dany punkt $\mathbf {x}$ z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem rozmaitości zadana jest wzorem

$(d\mathbf {x} )^{2}\equiv ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j},$

gdzie współczynniki $g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n$ stanowią współrzędne tensora metrycznego obliczonego w punkcie $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})$ rozmaitości. Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie $dx$ musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej.

Warunek dodatniej określoności oznacza matematycznie, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora, tj. np.

$\det(g_{ij}(\mathbf {x} ))>0\quad {}$ dla każdego $\mathbf {x} \in M.$

(2) Tensor metryczny $g_{ij}(\mathbf {x} )$ pozwala obliczać długości krzywych w rozmaitości (patrz niżej).

(3) Metrykę (odległość) $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ pomiędzy dowolnymi punktami $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w $M$ i łączącej te punkty.

Krzywa ta jest linią geodezyjną, gdy jednak punkty $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ są infinitezymalnie odległe, tj. $\mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x} ,$ to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego $d\mathbf {x} .$

Rozmaitość riemannowska jest więc przestrzenią metryczną, z metryką zdefiniowaną w oparciu o różniczkowe elementy liniowe $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n}),$ których współczynniki $g_{ij}(\mathbf {x} )$ są elementami tensora metrycznego.

(4) Tensor metryczny $g_{ij}(\mathbf {x} )$ pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitości: krzywizny, pola powierzchni, objętości (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaitości. W ten sposób definiuje się geometrię na rozmaitości.

Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna.

Uwaga:

Jeżeli zamiast warunku dodatniej określoności tensora metrycznego nałoży się mniej wymagający warunek, by tensor był niezdegenerowany, to uzyskuje się w ogólnym przypadku rozmaitości pseudoriemannowskie. Albert Einstein użył teorii pseudorozmaitości Riemanna w sformułowaniu ogólnej teorii względności.

Wprowadzenie

W 1827 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje twierdzenie wyborne (theorema egregium), dotyczące powierzchni dwuwymiarowych. Twierdzenie to mówi, że własności geometryczne powierzchni, jak np. krzywizna powierzchni, kąty między krzywymi, pola powierzchni mogą być całkowicie określone za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowanych na tej powierzchni, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni trójwymiarowej, w której powierzchnia jest zanurzona.

Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa do przestrzeni wielowymiarowych, nazywanych rozmaitościami (czyli zakrzywionych przestrzeni wielowymiarowych). Zrobił to w sposób wewnętrzny dla rozmaitości, bez umieszczania jej w przestrzeni posiadającej więcej wymiarów.

Podstawowe pojęcia

Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie

Każdemu punktowi $x\in M$ rozmaitości można przypisać przestrzeń styczną $TM_{x}$ (przestrzeń euklidesową o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości, o bazie utworzonej z wektorów stycznych do rozmaitości w punkcie $x$). Każda przestrzeń styczna może zostać przekształcona w przestrzeń unitarną, jeżeli zdefiniuje się w niej iloczyn skalarny wektorów.

Wiązka styczna rozmaitości. Wiązka styczna unitarna.

Zbiór przestrzeni stycznych do rozmaitości $M$ w poszczególnych jej punktach nazywa się wiązką styczną rozmaitości.

Zbiór przestrzeni stycznych unitarnych do rozmaitości $M$ w poszczególnych jej punktach nazywa się wiązką styczną unitarną rozmaitości.

Norma wektorów na rozmaitości

W każdej przestrzeni stycznej $TM_{x}$ rozmaitości $M$ można ustalić definicję długość wektorów – w ten sposób każda przestrzeń styczna staje się przestrzenią unormowaną.

Norma wektora $\mathbf {dx}$ zaczepionego w punkcie $\mathbf {x}$ zadana jest wzorem

$\|\mathbf {dx} \|={\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} ){dx^{i}}{dx^{j}}\right|}},$

gdzie:

$\lVert \cdot \rVert$ – norma (długość) wektora,

$dx^{i},dx^{j},\,\,i,j=1,\dots ,n$ – współrzędne wektora $\mathbf {dx} ,$

$g_{ij}(\mathbf {x} )$ – tensor metryczny w punkcie $\mathbf {x} .$

Celowe jest wprowadzenie normy zdefiniowanej w ten sam sposób we wszystkich przestrzeniach stycznych rozmaitości. W takim wypadku mówi się, że norma została wprowadzona na wiązce stycznej $TM$ rozmaitości $M.$

Krzywa w rozmaitości

Równanie parametryczne krzywej

Niech $\gamma :[a,b]\to M$ będzie krzywą regularną, zadaną równaniami parametrycznymi

$\mathbf {x} (t)=[x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t)]\in M,$

gdzie $t$ – parametr krzywej. Zamiast symboli $\mathbf {x} ,x^{i}$ będziemy tu używać tradycyjnego zapisu równań krzywych z użyciem symbolu $\gamma ,$ tj. równanie krzywej ma w tej symbolice postać

$\gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)].$

Np. równanie okręgu na płaszczyźnie

(a) we współrzędnych kartezjańskich ma postać

$x^{1}(t)\equiv \gamma ^{1}(t)=R\cos(t),$

$x^{2}(t)\equiv \gamma ^{2}(t)=R\sin(t),$

(b) we współrzędnych biegunowych ma postać

$x^{1}(t)\equiv \gamma ^{1}(t)=R,$

$x^{2}(t)\equiv \gamma ^{2}(t)=t.$

Wektory styczne do krzywej

Dla każdej liczby $t\in (a,b)$ można znaleźć wektory styczne

$\gamma '(t)={\frac {d\gamma (t)}{dt}}$

znajdujące się w przestrzeniach stycznych $TM_{\gamma (t)}$ rozmaitości w punktach $\gamma (t)$ krzywej. Wektor styczny ma więc współrzędne

$\gamma '(t)=\left[{\frac {d\gamma ^{1}(t)}{dt}},\dots ,{\frac {d\gamma ^{n}(t)}{dt}}\right].$

Długość wektora stycznego

Długość wektora stycznego liczy się zgodnie ze wzorem na normę, tj.

$\|\gamma '(t)\|={\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}\right|}}.$

Długość krzywej na rozmaitości

Jeżeli parametr $t$ oznaczałby czas, to wielkość $\|\gamma '(t)\|$ byłaby wartością wektora prędkości poruszania się ciała po krzywej w czasie $(t,t+dt).$ Wtedy wielkość $ds=\|\gamma '(t)\|dt$ oznaczałaby infinitezymalne przemieszczenie punktu wzdłuż krzywej w tym czasie. Długość drogi przebytego przez ciało wzdłuż krzywej $\gamma (t)$ w czasie $t\in [a,b]$ byłaby całką z poszczególnych odcinków $ds=\|\gamma '(t)\|dt,$ czyli

$L(\gamma _{ab})=\int _{a}^{b}{\|\gamma '(t)\|\,\mathrm {d} t}.$

W ogólności $t$ może oznaczać dowolny parametr, niekoniecznie czas. Długość krzywej nie zależy bowiem od sposobu jej parametryzacji.

Różniczkowalność krzywej $\gamma (t)$ dla $t\in (a,b)$ gwarantuje, że $\|\gamma '(t)\|$ przyjmuje skończone wartości, a to oznacza, że całka $L(\gamma )$ istnieje.

Zapisując normę $\|\gamma '(t)\|$ w jawnej postaci, mamy wzór na długość krzywej

$L(\gamma _{ab})=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\left|g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}\right|}}\,dt.$

przy czym w powyższym wzorze trzeba sumować po powtarzających się wskaźnikach $i,j=1,\dots ,n$ (zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina; konwencję tą stosuje się także we wzorach poniżej).

Odległość punktów na rozmaitości

W każdej rozmaitości riemannowskiej spójnej można wprowadzić pojęcie odległości.

Definicja:

Odległością punktów $\mathbf {x,y}$ rozmaitości $M$ jest długość najkrótszej spośród krzywych $\gamma$ zawartych w rozmaitości, ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty $\mathbf {x,y} ,$ czyli

$d(\mathbf {x,y} )=\inf \,\{L(\gamma ),\gamma \in M,\gamma (a)=\mathbf {x} ,\gamma (b)=\mathbf {y} \},$

gdzie:

$\inf \,\{\dots \}$ – infimum (kres dolny zbioru),

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\,\mathrm {d} t$ – długość krzywej $\gamma .$

Dowodzi się, że najkrótszymi liniami w rozmaitości riemannowskiej zupełnej są linie geodezyjne (patrz niżej). Rozmaitość riemannowska, w której zdefiniowano pojęcie odległości, staje się przestrzenią metryczną.

Linie geodezyjne na rozmaitości

Rozmaitość riemannowska jest w ogólności zakrzywiona. Jeżeli rozmaitość jest przestrzenią zupełną, to najkrótszymi liniami, łączącymi dwa punkty, są linie geodezyjne – linie te są odpowiednikami linii prostych w przestrzeni Euklidesa. Linia geodezyjna $x^{m}(t),$ gdzie $t$ – parametr definiujący krzywą, spełnia równanie różniczkowe:

${\frac {d^{2}x^{m}}{dt^{2}}}+\Gamma _{kj}^{m}{\frac {dx^{k}}{dt}}{\frac {dx^{j}}{dt}}=0,$

gdzie $\Gamma _{kj}^{m},$ $j,k,m=1,\dots ,n$ – symbole Christoffela, które wyrażają się przez tensor metryczny wzorami

$\Gamma _{kj}^{m}={\frac {1}{2}}g^{mi}{\Bigg (}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{ik}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial g_{kj}}{\partial x_{i}}}{\Bigg )}.$

Powyższe wzory można zapisać w bardziej zwartej postaci:

${\ddot {x}}^{m}+\Gamma _{kj}^{m}{{\dot {x}}^{k}}{{\dot {x}}^{j}}=0,$

$\Gamma _{kj}^{m}={\frac {1}{2}}g^{mi}{\Big (}g_{ij,k}+g_{ik,j}-g_{kj,i}{\Big )},$

gdzie wprowadzono oznaczenia:

${\dot {x}}^{m}\equiv {\frac {dx^{m}}{dt}}$ – pochodna współrzędnej po parametrze $t$ (= prędkość, gdy $t$ = czas),

${\ddot {x}}^{m}\equiv {\frac {d^{2}x^{m}}{dt^{2}}}$ – druga pochodna (= przyśpieszenie, gdy $t$ = czas),

$_{,k}$ – przecinek z literą = pochodna cząstkowa po współrzędnej przestrzennej $x_{k}.$

Uwaga:

Jeżeli rozmaitość nie jest zupełna, to linie geodezyjne mogą nie istnieć.

Np. dla płaszczyzny, z której usunięto punkt $(0,0),\ \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\},$ odległość między punktami $a=(-1,0)$ oraz $b=(2,0)$ wynosi 2, ale nie istnieje linia geodezyjna, łącząca te punkty i należąca do rozmaitości, gdyż obliczając infimum uzyskuje się linię prostą w $R^{2},$ przechodzącą przez usunięty z omawianej rozmaitości punkt $(0,0).$ Mimo tego odległość w rozmaitości między punktami $a=(-1,0)$ oraz $b=(2,0)$ wynosi 3, tyle ile w rozmaitości bez usuniętego punktu $(0,0).$

Kąt między wektorami

Kąt $\theta$ pomiędzy dwoma wektorami $\mathbf {u} =[u^{1},\dots ,u^{n}]$ oraz $\mathbf {v} =[v^{1},\dots ,v^{n}]$ stycznymi do rozmaitości w punkcie $\mathbf {x} ,$ dany jest jako iloraz iloczynu skalarnego wektorów przez iloczyn długości tych wektorów, tj.

$\cos \theta (\mathbf {x} )={\frac {\langle \mathbf {u} (\mathbf {x} )|\mathbf {v} (\mathbf {x} )\rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {u} (\mathbf {x} )|\mathbf {u} (\mathbf {x} )\rangle \langle \mathbf {v} (\mathbf {x} )|\mathbf {v} (\mathbf {x} )\rangle }}},$

czyli

$\cos \theta (\mathbf {x} )={\frac {g_{ij}(\mathbf {x} )\,u^{i}y^{j}}{\sqrt {|g_{ij}(\mathbf {x} )\,u^{i}u^{j}|\,\,|g_{ij}(\mathbf {x} )\,v^{i}v^{j}|}}}.$

W zakrzywionej przestrzeni wektory należą do przestrzeni stycznej $TM_{x}$ do rozmaitości.

Rozmaitość riemannowska – podsumowanie

W ramach podsumowania zestawiono tu najważniejsze idee dotyczące rozmaitości riemannowskich.

(1) Pojęcie rozmaitości riemannowskiej wychodzi zdecydowanie poza pojęcie przestrzeni liniowej (wektorowej): rozmaitość riemannowska w ogólności nie jest przestrzenią liniową. Dlatego np. punktów rozmaitości nie można traktować jakby były wektorami (jak to można robić w przestrzeni euklidesowej).

(2) Ponadto: wektory styczne do krzywych leżących w rozmaitości nie należą do rozmaitości (np. sfera). Dlatego wprowadza się pojęcie przestrzeni stycznej do rozmaitości – przestrzeń styczna jest przestrzenią wektorową, którą tworzą wektory styczne do krzywych rozmaitości.

Standardową bazę przestrzeni stycznej stanowią wektory styczne do linii współrzędnych krzywoliniowych

$e_{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,$

gdzie $\mathbf {x} =(y^{1},\dots ,y^{m}),$ $m\geqslant n$ jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości opisanym przez współrzędne kartezjańskie przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest rozmaitość.

(Przykłady obliczeń podano w: Tensor metryczny lub Współrzędne krzywoliniowe).

(3) Następnie można zdefiniować iloczyn skalarny wektorów, a dalej tensor metryczny, którego współrzędne są równe iloczynom skalarnym wektorów stycznych, tj.

$g_{ij}=e_{i}e_{j}\quad i=1,2,\dots ,n$

(alternatywnie: definiuje się różniczkowy element liniowy, którego współczynniki są równe współrzędnym tensora metrycznego; wtedy nie trzeba odwoływać się do przestrzeni euklidesowej).

(4) Dzięki temu można w dalszej kolejności zdefiniować metrykę na rozmaitości, wyznaczoną przez długości krzywych geodezyjnych, łączących punkty rozmaitości. Tensor metryczny pozwala zdefiniować też inne wielkości geometryczne. Stąd jego fundamentalne znaczenie.

(5) Rozmaitość riemannowska sprowadza się do przestrzeni liniowej (euklidesowej), gdy tensor metryczny staje się diagonalny w całej przestrzeni. Wtedy metryka riemannowska staje się metryką euklidesową, krzywe geodezyjne stają się prostymi euklidesowymi.

Zobacz też

• geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich
• symbole Christoffela
• tensor krzywizny Riemanna
• tensor metryczny
• wektor styczny do krzywej

Inne

• pochodna kowariantna
• rozmaitość
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość topologiczna
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• A. Goetz: Geometria różniczkowa. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce
• M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Sufraces. Prentice Hall, 1986. Brak numerów stron w książce
• M. do Carmo: Riemannian geometry. Boston: Basel, 1992. ISBN 978-0-8176-3490-2. Brak numerów stron w książce
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN, 1974.