Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretna – przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ z topologią $\tau$ taką, że punkty zbioru $X$ są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje formalne

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór $X.$

• Topologię dyskretną na $X$ definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór $X$ jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór $X$ wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
• Jednostajność dyskretną na $X$ definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej ${\big \{}(x,x)\colon x\in X{\big \}}$ jest otoczeniem. Zbiór $X$ wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
• Przestrzeń metryczną $(X,d)$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka $d$ jest metryką dyskretną, tj.

  $d(x,y)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x\neq y,\\0,&{\text{gdy }}x=y\end{cases}}$

  dla dowolnych $x,y\in X.$

• Przestrzeń metryczną $(X,d)$ nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje $r>0$ takie, że dla dowolnych $x,y\in X$ jest $x=y$ bądź $d(x,y)>r.$ Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze $\left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\dots \right\}.$

Własności

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna $X:=\left\{{\tfrac {1}{n}}\colon n=1,2,3,\dots \right\}$ z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Twierdzenia

• Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna $\iff$ otwarte są zbiory jednoelementowe
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna $\iff$ przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
• Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
• Przestrzeń jednostajna jest dyskretna $\iff$ przekątna jest otoczeniem.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
• Przestrzeń dyskretna jest zwarta $\iff$ przestrzeń jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona $\iff$ przestrzeń jest skończona.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
• Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) $\iff$ przestrzeń jest przeliczalna.
• Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
• Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
• Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
• Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna.
• Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to $X$ jest równo pokryta przez $X\times Y$ (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
• Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
• Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
• Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
• Odwzorowanie przestrzeni topologicznej $Y$ w przestrzeń dyskretną $X$ jest ciągłe $\iff$ jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt $Y$ ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też

• przestrzeń antydyskretna