Odcinek

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Odcinek – część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych $XYZ$ odcinek o końcach $(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2})$ jest zbiorem punktów $(x,y,z)$ opisanych układem równań

${\begin{cases}x=(1-t)x_{1}+tx_{2},\\[2pt]y=(1-t)y_{1}+ty_{2},\\[2pt]z=(1-t)z_{1}+tz_{2},\end{cases}}$

gdzie:

$0\leqslant t\leqslant 1.$

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:

$x=(1-t)x_{1}+tx_{2}$

przy $0\leqslant t\leqslant 1,$ stając się równoważną definicji przedziału $[x_{1},x_{2}].$

W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek $AB$ (tzn. odcinek o końcach $A$ i $B$ będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących „pomiędzy” $A$ i $B$ jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:

$AB=\{(1-t)\cdot A+t\cdot B:\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.$

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach $A$ i $B$ można definiować jako zbiór punktów $X$ tej przestrzeni leżących „pomiędzy” $A$ i $B$ jako spełniających warunek:

odległość od $A$ do $B$ równa jest sumie odległości od $A$ do $X$ i od $X$ do $B.$

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:

$\sigma _{AB}=\sigma _{AX}+\sigma _{XB},$

gdzie $\sigma _{PQ}$ jest odległością pomiędzy $P$ i $Q$ według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

Zobacz też

• prosta