Liczby doskonałe

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

$\sigma (n)=2n.$

Najmniejszą liczbą doskonałą jest $6$, ponieważ $6=3+2+1.$ Następną jest $28,$ ponieważ $28=14+7+4+2+1.$

Kolejnymi są $496,$ $8128,$ $33550336,$ $8589869056,$ $137438691328$ i $2305843008139952128.$

Największą znaną obecnie (7 grudnia 2018) liczbą doskonałą jest $2^{82589932}\cdot (2^{82589933}-1),$ liczy ona 49 724 095 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. Nie udało się dotąd znaleźć żadnej liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych

W IX księdze Elementów, najstarszym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych:

należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki $1+2+4+8+\dots$ Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

$1+2^{1},\quad 1+2^{1}+2^{2},\quad 1+2^{1}+2^{2}+2^{3},\quad \dots$

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie $2,$ więc mają one postać $2^{i}-1.$ Jeśli któraś z tych liczb $2^{i}-1$ okaże się liczbą pierwszą, to $(2^{i}-1)\cdot 2^{i-1}$ jest liczbą doskonałą.

Własności

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać $(2^{p}-1)2^{p-1},$ gdzie $2^{p}-1$ jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również $p$ jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a.

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci $p^{4k+1}l^{2},$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą postaci $4m+1.$ Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od $10^{1500}.$

Zobacz też

• liczby towarzyskie
• liczby zaprzyjaźnione

Bibliografia

• Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
• Włodzimierz Holsztyński, Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 1–3.
• Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• WłodzimierzW. Holsztyński WłodzimierzW., Liczby doskonałe, „Delta”, grudzień 2007, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .

Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-04]:

• Liczby doskonałe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki”, 10 października 2017.
• Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus”, 27 października 2022.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Odd Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25].
• Mersenne Prime Search
• Odd Perfect Number Search. oddperfect.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-11-06)].