Probabilitat

La rotleta es un jòc d'azard que pòu èsser descrich gràcias ai probabilitats.

Lei probabilitats son la branca dei matematicas que calcula la probabilitat d'un eveniment, es a dire sa frequéncia a respècte de l'ensemble dei cas possibles. Èra coneguda durant l'Antiquitat mai son desvolopament vertadier comencèt a la fin de l'Edat Mejana amb l'expansion dau comèrci maritim en Euròpa e l'aparicion de sistèmas d'assegurança per redurre lo risc financier d'aqueleis expedicions. A partir de la premiera mitat dau sègle XVII, lei matematicians comencèron a s'interessar au subjècte e l'importància dau camp dei probabilitats foguèt pauc a pauc descubèrta. Puei, a la fin dau sègle XIX, foguèt iniciada la construccion d'una teoria dei probabilitats qu'es venguda un element fondamentau dei matematicas modèrnas.

La probabilitat d'un eveniment es un nombre reau comprés entre 0 e 1. La possibilitat que l'eveniment ague luòc aumenta quand aqueu nombre aumenta. Dins lo cas contrari, la possibilitat demenís. Lei jòc d'azard constituïguèron lo premier camp de recèrca dei probabilistas. Pasmens, lei descubèrtas entraïnèron una multiplicacion deis aplicacions dins de domenis variats coma la quimia, la meteorologia o la finança.

Istòria

De l'Antiquitat a la nocion modèrna de probabilitat

Dat de vint fàcias egipcian (sègles IV-II avC).

L'azard e l'incertitud èran de nocions conegudas durant l'Antiquitat car èran incarnadas per fòrça divinitats. Segon lei conoissenças actualas, foguèt pas l'objècte d'estudis importants. Pasmens, divèrseis elements mòstran un saber au mens empiric de certanei fenomèns aleatòris. Per exemple, lei jòcs de dat o de cartas èran frequents en Egipte, en Mesopotamia, en Índia o en China. Un autre element de tria qu'indica una certana conoissença dei probabilitats es l'existéncia de dats trucats. Enfin, dins la societat romana aviá un sistèma de barèmas destinats a calcular lo còst d'una venda vitilícia.

Lei filosòfs grècoromans s'interessèron un pauc a l'azard. Aristòtel (384-322 avC) definiguèt leis eveniments « necessaris », es a dire fòrça frequents, e leis eveniments « contingents », es a dire leis eveniments possibles. Dins sa traduccion deis escrichs dau filosòf grèc, Ciceron (106-43 avC) utilizèt lo mot probabilis per tradurre lo grèc « probable ». Aquò aguèt una influéncia sus la nocion de probabilitat durant l'Edat Mejana car l'idèa de versemblança foguèt associada a aquela de probabilitat dins lei commentaris successius de l'òbra d'Aristòtel. Per exemple, dins un tèxte dau sègle XIII escrich per Nicole Oresme (1320-1382), lo tèrme « probabilitat » a per significacion «caractèr de çò qu'es probable».

Lo calcul dei probabilitats medievau èra donc encara ben alunchat de la disciplina matematica actuala. D'efiech, èra alora una « sciéncia » encargada de l'estudi de la versemblança d'un eveniment. Aviá un interès important per lei teologians e donèt naissença au probabilisme, un movement teologic morau que foguèt influent dau sègle XVI au sègle XVIII. Segon sa doctrina, «s'una opinion es probabla, es permés de la seguir». Promòugut per lei jesuistas, lo probabililisme s'opausava au probabiliorisme que conselhava de seguir l'opinion pus probabla.

La formacion de la teoria dei probabilitats

L'emergéncia dei probabilitats modèrnas

Extrach de la correspondància entre Fermat e Pascal sus lo problema dei partits.

L'emergéncia dei probabilitats modèrnes es una consequéncia dau desvolopament creissent dau comèrci navau europèu durant la segonda partida de l'Edat Mejana. Durant aqueu periòde, apareguèt la nocion de « risc » que sostenguèt la creacion de l'assegurança. D'efiech, coma lei transpòrts maritims èran encara una activitat perilhosa, de borsas e de contractes foguèron imaginats e creats per redurre lo risc financier liat a la pèrda d'un cargament. Lo religiós occitan Pèire Olieu (1248-1298), autor dau Tractat dei contractes, aguèt un ròtle pionier dins aqueu domeni.

Lei calculs de probabilitat matematica venguèron donc pauc a pauc un aspècte important dau comèrci en Mediterranèa. Pasmens, la difusion vèrs leis elèits sabents sembla lònga. Lei traças pus vièlhas conegudas a l'ora d'ara son quauquei referéncias trobadas dins un obratge postum, publicat en 1663, dau matematician italian Gerolamo Cardano (1501-1576). Probablament començat dins leis ans 1520, foguèt acabat en 1564. Intitulat Liber de ludo aleae (Libre dau jòc d'azard), contèn d'analisis de tecnicas de trichariás e dona de metòdes per s'aparar còntra lei trichaires. Dins aquò, l'obratge contèn tanben la premiera definicion de la probabilitat matematica dins son capitól 14.

En 1654, una correspondància entre Pèire de Fermat (1601-1665) e Blasi Pascal (1623-1662) a prepaus d'una question pausada per Antoine Gombaud sus lo partiment dei ponchs d'una partida non acabada es sovent retenguda coma la data d'aparicion dei probabilitats modèrnas. D'aparéncia simpla, la question necessitèt de desvolopar d'otís matematics novèus per trobar una solucion capabla de despartir, de maniera equitabla, lei somas encara en jòc. L'an seguent, aqueu trabalh interessèt fòrça Christian Huygens (1629-1695) que publiquèt en 1657 lo premier tractat sus la teoria probabilista : De ratiociniis in ludo aleae (Rasonaments sus lei jòcs de dats).

Lo sègle dei Lutz

The Doctrine of Chances d'Abraham de Moivre.

La traduccion de l'obratge de Christian Huygens menèt a un interès creissent per lei probabilitats durant lo sègle XVIII. En 1708, Pierre Rémond de Montmort (1678-1719) publiquèt un tractat sus lei jòcs d'azard que conteniá la formula dau binòmi de Newton. Dètz ans pus tard, Abraham de Moivre (1667-1754) escriguèt un important obratge, The Doctrine of Chances, que marquèt una evolucion importanta dins l'estudi dei probabilitats gràcias a la precision de seis enonciats matematics. De mai, Moivre presentèt de causas novèlas coma la formula de Stirling, una approximacion de la lèi normala e una premiera version dau teorèma centrau limit. The Doctrine of Chances demorèt l'obratge de referéncia en probabilitat durant un sègle.

Dins aquò, i aguèt d'autrei trabalhs de remarca durant aqueu periòde. Dins un tractat de Jacques Bernoulli (1654-1705) publicat en 1713, Ars Conjectandi, foguèron desvolopadas lei nocions de binòmi de Newton e de descripcion d'un fenomèn aleatòri sota forma de frequéncias. En 1711, dins sa tèsi de doctorat, Nicolas Bernoulli (1687-1759) parlèt per lo premier còp de la lèi unifòrma discrèta. Puei, Daniel Bernoulli (1700-1782) estudièt, a partir deis ans 1730, d'aplicacions dei probabilitats a de problemas d'assegurança, d'astronomia, de calcul d'error o au paradòxa de Sant-Petersborg. A la meteissa epòca, Leonhard Euler (1707-1783), egalament liada a la familha Bernoulli, s'interessèt tanben ai problemas d'assegurança.

Un autre contributor major au desvolopament dei probabilitats durant lo sègle dei Lutz foguèt lo matematician anglés Thomas Bayes (1702-1761). Dins un article publicat après sa mòrt en 1763-1764, presentèt la premiera version dau teorèma de Bayes. Fòrça utilizat en estatisticas, permet de determinar la probabilitat d'un eveniment a partir d'un autre eveniment realizat, especialament se lei dos eveniments son liats. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) desvolopèt aquel estudi en 1774 dins Sus la probabilitat dei causas. Enfin, en 1777, lo naturalista Buffon (1707-1788) establiguèt lo premier liame entre lei probabilitats e la geometria amb lo problema de l'agulha de Buffon.

La descubèrta dei lèis continuas

La premiera mencion de lèis continuas se tròba dins un tractat de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) publicat en 1770. Aquò entraïnèt de trabalhs importants sus l'aspècte continú dei probabilitats. En 1812, menèron a la publicacion de la Teoria analitica dei probabilitats de Laplace. Aquel obratge marquèt una revolucion dins lo domeni dei probabilitats en causa de son utilizacion de resultats asimptotics e de sa capacitat de diferenciar leis enonciats de principis probabilistas e leis estimacions de probabilitats observadas après una experiéncia. Aqueu destriament aguèt un ròtle important dins la diferenciacion dei simbòls Σ e ʃ durant lo sègle XIX. De mai, Laplace formulèt la premiera version complèta dau teorèma centrau limit.

La reconoissença academica

L'idèa d'integrar lei probabilitats dins l'ensenhament dei matematicas apareguèt durant la Revolucion Francesa a l'iniciativa de Nicolas de Condorcet (1743-1794). Per aquò, la matematician francés publiquèt un obratge d'introduccion ai principis dei probabilitats adaptats ai jòcs d'azard. Tre 1794, lei probabilitats foguèron ansin ensenhadas a l'Escòla Politecnica. Pasmens, la disciplina foguèt l'objècte de criticas de part dei movements positivistas durant tot lo sègle XIX. Per exemple, lo filosòf Auguste Comte (1798-1857) considerava lei probabilitats coma una engana scientifica e morala

La teoria classica dei probabilitats

L'emergéncia de la teoria dei probabilitats

A la fin dau sègle XIX, lei probabilitats foguèron l'objècte d'evolucions importantas coma l'introduccion dei nocions d'ensemble discret e d'ensemble negligible per Axel Harnack (1851-1888) e l'aparicion de liames importants amb la teoria de la mesura dins lei trabalhs de Georg Cantor (1845-1918), de Giuseppe Peano (1858-1932) e de Camille Jordan (1838-1922). Pasmens, l'actor major d'aquela transformacion foguèt Émile Borel (1871-1956) qu'es considerat coma lo paire de la teoria de la mesura amb sei trabalhs sus leis ensembles de mesura nulla en 1897. Ansin, a partir dau començament dau sègle XX, la teoria dei probabilitats venguèt una partida particulara teoria de la mesura.

Lei descubèrtas dau sègle XX

Andrey Kolmogorov, un dei matematicians pus important dau sègle XX per lo desvolopament de l'estudi dei probabilitats.

Au sègle XX, lei probabilitats demorèron un domeni important dei matematicas modèrnas. Mai d'una descubèrta importanta aguèt donc luòc durant aquela epòca. Premier, dins leis ans 1910-1920, lei trabalhs de Paul Lévy (1886-1971), de Richard von Mises (1883-1953) e de George Pólya (1887-1985) permetèron de demostrar lo teorèma centrau limit e d'arribar a sa formulacion actuala. Durant lo meteis periòde, foguèron tanben estudiats lei fenomèns aleatòris coma lei procès estocastics (Leo Doob, Kolmogorov), lei camins aleatòris (Rayleigh, Pearson, Pólya, Varopoulos) e lo movement brownian (Wiener, Paley, Dynkine).

Lei recèrcas sus lei jòcs d'azard conoguèron de desvolopaments parallèls a aquelei descubèrtas. En particular, lei martegalas foguèron matematizadas gràcias ai progrès en matèria de calcul estocastic. Aquò permetèt egalament lo desvolopament de la teoria de la percolacion après la Segonda Guèrra Mondiala (Harris, Kesten, Smirnov).

Probabilitat d'un eveniment

La nocion de probabilitat permet de quantifiar l'azard. La probabilitat d'un eveniment A, notada $\mathbb {P} (A)$, associa una valor entre 0 et 1 au fach que l'eveniment se realize. Se $\mathbb {P} (A)=1$, l'eveniment es dich « quasi segur » mentre que, se $\mathbb {P} (A)=0$, es dich « negligible » o « quasi impossible ».

La probabilitat d'un eveniment A pòu s'obtenir amb un calcul frequentista, especialament quand es possible de realizar una meteissa experiéncia mai d'un còp e de comptar lo nombre de succès. D'efiech, per n experiéncias independentas aguent permés d'obtenir n_A l'eveniment A, la probabilitat de A es donada per :

$\mathbb {P} (A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n_{A}}{n}}$

D'una maniera pus probabilista, quand lo nombre de resultats possibles de l'experiéncia es finit e que sei resultats son equiprobables, la probabilitat de l'eveniment A es obtenguda per :

$\mathbb {P} (A)={\frac {\text{nombre de cas de realizacion de l'eveniment A}}{\text{nombre de cas possibles}}}$

Matematicament, l'eveniment A es un sosensemble d'un ensemble Ω que representa totei lei possibilitats possiblas. Per obtenir una teoria, d'axiòmas foguèron prepausats per Kolmogorov. Segon elei, la probabilitat dèu verificar lei ponchs seguents :

1. per tot eveniment A, $\mathbb {P} (A)$ es compresa entre 0 e 1.
2. $\mathbb {P} (\Omega )=1$.
3. $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)$ per $A\cap B=\emptyset$.

Gràcias a aquela descripcion, plusors nocions pòdon s'escriure de maniera matematica. Ansin, dos eveniments A e B son dichs independents se lo fach de conéisser la probabilitat dau premier permet pas de preveire la probabilitat dau segond : $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)$. Per exemple, es generalament lo cas dei jòcs de dats. Se lei dos eveniments son dependents, lo fach de conéisser la probabilitat de A influencia la probabilitat de B. Aquò correspònd a una situacion de probabilitat condicionala que se tradutz per la relacion matematica : $\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A\cap B)/\mathbb {P} (B)$. De formulas particularas, coma la formula de Poincaré, permèton de calcular aqueu tipe de probabilitat.

Teoria dei probabilitats

Article principal : Teoria dei probabilitats.

Axiòmas

Leis axiòmas de basa dei probabilitats actualas son estats definits per lo matematician sovietic Andrei Kolmogorov (1903-1987). Per aquò, definiguèt l'espaci dei possibles, dich univèrs, que contèn totei leis azards possibles. Puei, o dotèt d'un ensemble que contèn totei lei sosensembles de l'univèrs, dichs tribüs, e d'una mesura de probabilitat que permet de calcular lei probabilitats correspondentas. L'espaci $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ ansin construch verifica lei tres axiòmas dei probabilitats :

• la positivitat, es a dire que la probabilitat d'un eveniment es una valor entre 0 e 1 : $A\in {\mathcal {A}}$, $0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1$.
• la massa unitària, es a dire que la probabilitat de l'univèrs es egala a 1 : $\mathbb {P} (\Omega )=1$.
• l'additivitat, es a dire que per una seguida denombrabla d'eveniments $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$ separats dos a cha dos, valent a dire que $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ per totei $i\neq j$, alora : $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i\geq 1}A_{i}\right)=\sum _{i\geq 1}\mathbb {P} (A_{i})$.

Variablas aleatòrias

Article principal : Variabla aleatòria.

Una variabla aleatòria es una variabla que sa valor es determinada après la realizacion d'un fenomèn, d'una experiéncia o d'un eveniment aleatòri. Matematicament, es una aplicacion definida sus l'ensemble dei possibles, es a dire l'ensemble dei resultats possibles d'una experiéncia aleatòria. Dins lo calcul dei probabilitats, una tala variabla es interessenta car ofrís una bòna representacion dei fenomèns aleatòris. N'existís donc mai d'una forma, de natura reala, multidimensionala o generala.

Convergéncias e teorèmas limits

Article principal : Convergéncia de variablas aleatòrias.

La convergéncia de variablas aleatòrias es un concèpte important de la teoria dei probabilitats qu'a d'aplicacions importantas dins leis estudis sus leis estatisticas e sus lei procès estoscatics. Per exemple, la mejana de n variablas aleatòrias independentas e identicament distribuidas convergís probablament vèrs l'esperança comuna d'aquelei variablas aleatòrias. Existís mai d'un tipe de convergéncia coma la convergéncia en lèi, la convergéncia en probabilitat, la convergéncia quasi segura o la convergéncia en mejana.

Abòrd de teorèmas limits existisson per descriure aquelei convergéncias. Per exemple, la lèi dei grands nombres anóncia que la mejana dei n premierei variablas aleatòrias convergís vèrs la mejana teorica de la lèi comuna dei variablas aleatòrias. Un autre exemple es lo teorèma centrau limit que permet d'establir la convergéncia en lèi de la soma d'una seguida de variablas aleatòrias vèrs la lèi normala.

Lèi de probabilitat

Article principal : Lèi de probabilitat.

Definicion

Una lèi de probabilitat descriu lo comportament aleatòri d'un fenomèn que despend de l'azard. La nocion « d'experiéncia aleatòria » es utilizada per designar un procès reau de natura experimentala, onte l'azard intervèn, amb d'eissidas possiblas ben identificadas. Lo lançar d'un dat ordinari ben equilibrat es un exemple d'experiéncia aleatòri : lo resultat es una chifra entre 1 e 6 e lei possibilitats d'aparicion de cada chifra son identicas. Per una tala experiéncia, la lèi de probabilitat es donc : totei lei chifras son equiprobablas, de probabilitat 1/6.

Istoricament, lei lèis de probabilitat son estadas estudiadas dins lei jòcs d'azard (jòcs de dat, jòcs de carta, etc). Lei resultats possibles d'aquelei fenomèns son en nombre finit. Lor lèi de probabilitat es donc dicha discrèta. La donar consistís a identificar lei valors possiblas amb sei probabilitats associadas. Es alora generalament sota forma de formula, de taulas de valor, d'aubres de probabilitat o de foncions.

Dins un quadre pus generau, es a dire quand lo nombre de valors possiblas dau fenomèn aleatòri es infinit (denombrable o non), la lèi de probabilitat descriu totjorn la reparticion dei possibilitats per de resultats possibles mai es caracterizada per de foncions (densitat de probabilitat, foncion de reparticion, etc) o, pus generalament, per de mesuras.

La lèi normala

Corba de densitat de probabilitat d'una lèi normala centrada reducha.

Article principal : Lèi normala.

Una lèi normala es una lèi de probabilitat continua que despend unicament de son esperança µ e de sa desviacion tipica σ. La corba de densitat de probabilitat d'una lèi d'aqueu tipe a una forma caracteristica de campana mai o mens larga. Es probablament lo tipe de lèi de probabilitat pus conegut. En particular, s'utiliza fòrça la lèi normala de mejana nulla e d'escart tipe unitari qu'es dicha lèi normala centrada reducha.

Entre lei lèis de probabilitat, lei lèis normalas ocupan una plaça particulara gràcias au teorèma centrau limit. D'efiech, correspòndon au comportament, dins certanei condicions, d'una seguida d'experiéncias aleatòrias similaras e independentas quand lo nombre d'experiéncias es important. Gràcias a aquela proprietat, una lèi normala permet d'estimar d'autrei lèis e de modelizar abòrd d'estudis scientifics (mesuras d'error, mesuras estatisticas...).

La lèi unifòrma discrèta

Article principal : Lèi unifòrma discrèta.

La lèi unifòrma discrèta es una lèi de probabilitat discrèta qu'indica una probabilitat de realizacion identica a cada valor d'un ensemble finit de valors possiblas. Ansin, una variabla aleatòria, que pòu prendre n valors possiblas k₁, k₂, ..., k_n, seguís una tala lèi se la probabilitat d'una valor k_i (i compresa entre 1 e n) es egala a 1/n. L'exemple pus simple de lèi unifòrma discrèta es aquela que dona lei probabilitats d'aparicion de la fàcia d'un dat equilibrat de sièis fàcias. Lei valors possiblas de k son 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e, a cada lançar, la probabilitat d'aparicion d'una valor donada es egala a 1/6.

La lèi de Cauchy

Exemples de corbas de densitat de probabilitat d'una lèi de Cauchy per de valors diferentas dau paramètre de posicion x₀ e dau paramètre d'escala γ.

Article principal : Lèi de Cauchy (probabilitat).

La lèi de Cauchy (o lèi de Lorentz) es una lèi de probabilitat continua que sa densitat de probabilitat seguís una corba lorentzenca. Una tala corba sembla ai corbas utilizadas en espectroscopia per modelizar lei raias d'emission. Aquela distribucion es simetrica a respècte d'un paramètre de posicion x₀ e mai o mens estenduda en foncion d'un paramètre d'escala notat a o γ.

Aqueu tipe de foncion es utilizada dins de domenis relativament precís. En fisica, permet de modelizar lei raias d'emission electromagneticas dins certanei situacions. Dins la meteissa disciplina, es tanben sovent adoptada per estudiar lei fenomèns d'observacion d'objèctes que viran. En idrologia, lei lèis de Cauchy son aplicadas per representar d'eveniments extrèmas coma de precipitacions maximalas e de debits fluviaus. Enfin, dins la finança, aquelei lèis son preferidas ai lèis normalas per representar lei riscs.

La lèi dau χ²

Article principal : Lèi dau χ².

Una lèi dau χ² es una soma de carrats de k lèis normalas. N'existís dos tipes. Lo premier es lei lèis dau χ² centradas que son compausadas de lèis normalas centradas. Lo segond es lei lèis dau χ² que son de generalizacions a totei lei formas de lèis normalas. Aquelei lèis son fòrça utilizadas per estudiar de fenomèns aleatòris gaussians.

Calcul estocastic

Article principal : Calcul estocastic.

Lo calcul estocastic es l'estudi dei fenomèns aleatòris que despendon dau temps. Es una extension de la teoria dei probabilitats qu'a de proprietats particularas coma la proprietat de Markov que declara qu'un movement futur despend unicament de l'estat present (e pas dei movements passats). A mai que d'una aplicacion en mecanica quantica, en tractament dau sinhau, en quimia, dins leis analisis financieras, en meteorologia e mai en musica.

Interpretacion dei probabilitats

Article principal : Interpretacion dei probabilitats.

Existís tres interpretacions principalas dei probabilitats. La pus istorica es la concepcion frequentista (o a posteriòri) que permet d'atribuir lei possibilitats de realizacion de cada eveniment segon un metòde estatistic. Es a dire qu'una experiéncia es realizada mai d'un còp per permetre de dedurre lei probabilitats liats ais eveniments. Idealament, faudriá realizat un nombre infinit d'experiéncias per obtenir lei probabilitats realas de l'experiéncia. Pasmens, coma aquò es pas possible, l'òm utiliza de metòdes empirics per aprochar lei probabilitats realas. Un jogaire de dat qu'assaia de determinar lo biais d'un dat trucat es un exemple d'aqueu tipe de concepcion dei probabilitats.

La concepcion classica dei probabilitats (o a priòri) s'utiliza per de situacions consideradas coma ben conegudas. Per exemple, es lo cas d'un ensemble de fenomèns aleatòris e equiprobables. L'exemple pus sovent citat d'una probabilitat d'aqueu tipe es lo dat non trucat e ben equilibrat : cada fàcia a alora la meteissa probabilitat d'aparéisser.

La darriera concepcion es dicha subjectiva, epistemica o bayesiana. S'aplica quand es impossible de determinar lei probabilitats dei resultats d'una experiéncia aleatòria. Aquò es sovent lo cas se l'experiéncia pòu pas èsser realizada un segond còp. Dins aquela situacion, lei probabilitats atribuidas correspòndon pas exactament a la realitat e despendon dei personas e dei situacions : son mai de probabilitats que s'aplican au jutjament deis individús qu'a l'eveniment eu meteis.

Annèxas

Liames intèrnes

• Assegurança.
• Azard.
• Calcul estocastic.
• Convergéncia de variablas aleatòrias.
• Estatistica.
• Eveniment.
• Independéncia.
• Interpretacion dei probabilitats.
• Jòc d'azard.
• Lèi de probabilitat.
  • Lèi dau χ².
  • Lèi de Cauchy.
  • Lèi gamma.
  • Lèi normala.
  • Lèi unifòrma discrèta.
• Martegala.
• Matematicas.
• Probabiliorisme.
• Probabilisme.
• Probabilitat condicionala.
• Risc.
• Teorèma centrau limit.
• Teoria dei jòcs.
• Teoria dei probabilitats.
• Teoria de la mesura.
• Variabla aleatòria.

Bibliografia

• (fr) Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck, 2006, 387 p.
• (la) Gerolamo Cardano, Liber de ludo aleae, 1663.
• (fr) Francis Comets e Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, Dunod, 2006, 324 p.
• (fr) Yadolah Dodge, Statistique - dictionnaire encyclopédique, Springer Verlag, 2004, 637 p.
• (en) H. O. Lancaster, The Chi-Squared Distribution, John Wiley & Sons, 1969, 356 p.
• (fr) Sylvie Méléard, Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités, Éditions de l'École Polytechnique, 2010, 280 p.
• (en) Charles Miller Grinstead e James Laurie Snell, Introduction to Probability, AMS, 1997, 519 p.
• (fr) Martine Quinio Benamo, Probabilités et Statistique aujourd'hui, L'Harmattan, 2005, 277 p.
• (fr) Sheldon M. Ross, Initiation aux probabilités, PPUR, 2007, 592 p.
• (fr) Bassel Solaiman, Processus stochastiques pour l'ingénieur, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006, 241 p.
• (fr) Jean Ville, Étude critique de la notion de collectif, Gauthier-Villars, 1939, 124 p.
• (fr) Alain Yger e Jacques-Arthur Weil, Mathématiques appliquées, Pearson Education, 2009, 890 p.