Kvadratrot

I matematikken er kvadratroten til et tall $a$ det tallet som multiplisert med seg selv gir $a$ som resultat. Kvadratroten til $a$ skrives ${\sqrt {a}}$ . For eksempel er ${\sqrt {9}}=3$ , siden $3\times 3=9$ .

Det finnes to tall $x$ som tilfredsstiller ligningen $x^{2}=a$ (unntatt hvis $a=0$ , som har den eneste løsningen $x=0$ ), og begge disse tallene betegnes som kvadratrøttene til $a$ . Hvis $a$ er et positivt reelt tall, er kvadratrøttene ett positivt og ett negativt tall med samme absoluttverdi. For eksempel er kvadratrøttene til $9$ lik $3$ og $-3$ . Symbolet ${\sqrt {9}}=3$ refererer likevel alltid til den positive kvadratroten. Hvis $a$ er et negativt tall, er begge kvadratrøttene imaginære, og hvis $a$ er kompleks, er begge kvadratrøttene også komplekse.

En annen måte å skrive kvadratroten av $x$ på, er å opphøye i en halv, altså: $x^{1 \over 2}={\sqrt {x}}$ eller mer generelt: ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1 \over n}$ .

Symbolet ${\sqrt {^{\ }}}$ ble først benyttet på 1500-tallet.

Noen regneregler

Følgende egenskaper for kvadratrøtter gjelder for alle positive, reelle tall $x$ og $y$ , og de kan utledes fra potensreglene:

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

{\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|

for alle reelle tall

x

(se absoluttverdi)

{\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}=x^{0{,}5}

Metode for å regne ut kvadratrot uten kalkulator

Her beskrives en nesten 4000 år gammel metode/oppskrift fra ca 1800 f.Kr. fra Babylonia. Inderne hadde også tidlige metoder for dette.

La $x$ være ${\sqrt {a}}$ .

Først gjetter man seg frem til et tall $x_{0}$ , deretter setter man det inn i en formel:

x_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{0}+{\frac {a}{x_{0}}}\right)

Deretter går man videre med samme metode, denne gangen med $x_{2}$ :

x_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}\right)

x_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{2}+{\frac {a}{x_{2}}}\right)

osv.

Grunnen til at man fortsetter med $x_{2}$ , $x_{3}$ , osv., er at jo lengre man kommer, desto mer nøyaktig blir svaret.

Eksempel:
Vi skal finne kvadratroten av $7$ . Vi vet at $2$ er roten av $4$ , og $3$ er roten av $9$ . Derfor må roten av $7$ ligge mellom $2$ og $3$ , vi velger derfor $x_{0}=2{,}5$ .

x_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}5+{\frac {7}{2{,}5}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}5+2{,}8)=2{,}65

x_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}65+{\frac {7}{2{,}65}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}65+2{,}642)=2{,}646

x_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}646+{\frac {7}{2{,}646}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}646+2{,}646)=2{,}646

Ved å bruke tre desimaler, ser vi at den tredje desimalen ikke forandrer seg fra $x_{2}$ til $x_{3}$ , noe som betyr at vi har funnet svaret med tre desimaler. Regner man ut kvadratroten av $7$ på en kalkulator, får man svaret $2,645{\ }751{\ }311...$ . Vi ser derfor at metoden stemmer ganske bra.

Denne metoden er en avart av den mye nyere og mer generelle Newtons metode som også kan brukes på andre utregninger. De fleste moderne CPUer har kvadratrotutregning og mange andre flyttallsoperasjoner innbygget i hardware slik at det kan kjøres flere titalls eller hundretalls millioner av dem pr. sekund.

Kvadratroten av de 30 første heltallene

${\sqrt {1}}=$	1
${\sqrt {2}}\approx$	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
${\sqrt {3}}\approx$	1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
${\sqrt {4}}=$	2
${\sqrt {5}}\approx$	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
${\sqrt {6}}\approx$	2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
${\sqrt {7}}\approx$	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
${\sqrt {8}}\approx$	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
${\sqrt {9}}=$	3
${\sqrt {10}}\approx$	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
${\sqrt {11}}\approx$	3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
${\sqrt {12}}\approx$	3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
${\sqrt {13}}\approx$	3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
${\sqrt {14}}\approx$	3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
${\sqrt {15}}\approx$	3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
${\sqrt {16}}=$	4
${\sqrt {17}}\approx$	4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
${\sqrt {18}}\approx$	4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
${\sqrt {19}}\approx$	4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
${\sqrt {20}}\approx$	4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
${\sqrt {21}}\approx$	4,5825756949 5584000658 8047193728 0084889844 5657676797 1902607242 1239068684 25547
${\sqrt {22}}\approx$	4,6904157598 2342955456 5630113544 4662805882 2835341173 7153605701 8910170246 32753
${\sqrt {23}}\approx$	4,7958315233 1271954159 7438064162 6939199967 0704190412 9346485309 1144482572 35907
${\sqrt {24}}\approx$	4,8989794855 6635619639 4568149411 7827839318 9496131334 0256865385 1345019207 54914
${\sqrt {25}}=$	5
${\sqrt {26}}\approx$	5,0990195135 9278483002 8224109022 7819895637 7094609959 6407584970 8044259336 32062
${\sqrt {27}}\approx$	5,1961524227 0663188058 2339024517 6171008284 1576143114 1884167420 9383557990 50726
${\sqrt {28}}\approx$	5,2915026221 2918118100 3231507278 5208514205 1836616490 0360736668 9184021376 46460
${\sqrt {29}}\approx$	5,3851648071 3450403125 0710491540 3295562951 2016164478 8837680388 6700166459 62827
${\sqrt {30}}\approx$	5,4772255750 5166113456 9697828008 0213395274 4694997983 2542268944 4973249327 71227

Se også