Vázquez begon in 2000 met voetballen bij CD Curtis. Vier jaar later verruilde hij CD Curtis voor Ural FC, waarna hij in 2010 op zestienjarige leeftijd werd opgenomen in de jeugdopleiding van Real Madrid. Vázquez debuteerde in het seizoen 2010/11 in Real Madrid C. Het seizoen erop maakte hij vier doelpunten in 26 wedstrijden voor Real Madrid Castilla, waarmee hij dat jaar promoveerde naar de Segunda División A. Op 25 februari 2012 maakte Vázquez zijn eerste treffer voor Castilla, tegen La Roda CF. Hij speelde op 17 augustus 2012 zijn eerste wedstrijd in de Segunda División A, tegen Villarreal CF.
Real Madrid liet Vázquez in 2014 vertrekken naar RCD Espanyol. Daarmee speelde hij op 30 augustus 2014 zijn eerste wedstrijd in de Primera División, toen hij in de 58ste minuut Salva Sevilla verving thuis tegen Sevilla FC. Na het seizoen 2014/15 maakte Real Madrid gebruik van een terugkoopclausule in zijn contract en legde de club Vázquez vast tot medio 2020.[1] Vázquez speelde in zijn eerste seizoen in het eerste elftal van bij Real Madrid 25 competitiewedstrijden en zeven wedstrijden in de dat jaar gewonnen UEFA Champions League.[2] Op 27 oktober 2016 verlengde hij zijn contract met een jaar, tot medio 2021.[3]
Vázquez werd op 17 mei 2016 opgenomen in de selectie van het Spaans voetbalelftal voor het Europees kampioenschap voetbal 2016 in Frankrijk, zonder enige interlandervaring op dat moment.[4] Hij maakte op 7 juni 2016 zijn debuut als international, in een oefeninterland tegen Georgië. Spanje werd in de achtste finale van het EK 2016 uitgeschakeld door Italië (2–0). Dit was de enige wedstrijd waarin Vázquez in actie kwam tijdens het toernooi, als invaller voor Álvaro Morata. Vázquez maakte eveneens deel uit van de Spaanse selectie die onder leiding van interim-bondscoach Fernando Hierro deelnam aan het WK 2018 in Rusland. In de achtste finales trokken de Spanjaarden in de strafschoppenreeks aan het kortste eind in het duel met gastland Rusland (3-4), nadat beide teams in de reguliere speeltijd plus verlenging op 1-1 waren blijven steken. Vázquez kwam in twee van de vier duels in actie.